两个参变量大打出手 拦不住了

facebooker

$(mx^2+nx)\ln x\geqslant 5x^2-4x-1$恒成立,求$\frac{n}{m}$的最大值___

kuing

这没啥难的啊……

令 `f(x)=(mx^2+nx)\ln x-(5x^2-4x-1)`，因为 `f(1)=0`，则 `f(x)\geqslant0` 恒成立的必要（非充分）条件是 `f'(1)=0` 且 `f''(1)\geqslant0`，解得 `n=6-m` 且 `m\geqslant2`，所以 `n/m=6/m-1\leqslant2`。

当然最后必须验证 `m=2`, `n=4` 满足题意，即证明
\[\ln x\geqslant\frac{5x^2-4x-1}{2x^2+4x},\]求导易证之，略。