已知三棱锥的外接球的半径，求三个侧面的面积和的最大值

走走看看

题目如下：


如果把$S_△ABC· S_△OBC= S_△PBC^2$去掉，结果应该一样的吧？

这个条件只是得出PA⊥平面PBC。然后设PA=x，PB=y，PC=z。

要使得三角形PAB、PBC、PAC的面积和最大，肯定是PA、PB、PC两两垂直。

何必先给个条件证明出PA⊥平面PBC呢？

走走看看

回复 1# 走走看看


    想请教大家，把那个条件去掉，是否也可以按如下书写。

    $S_{△PAB}+S_{△PBC}+S_{△PAC}≤\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}yz+\frac{1}{2}xz  $
   
    而$x^2+y^2+z^2=(2*3)^2$，所以，面积≤18。

kuing

...

要使得三角形PAB、PBC、PAC的面积和最大，肯定是PA、PB、PC两两垂直。

何必先给个条件证明出PA⊥平面PBC呢？
走走看看 发表于 2020-10-2 15:03

不要想当然，凭什么说最大一定是两两垂直，你可曾证明过？

kuing

其实想想也知道，（在无条件的情况下）当 $\S{PAB}+\S{PBC}+\S{PAC}$ 最大时，$\S{ABC}$ 一定不大于其他三个面，否则，那干脆就让它与比它小的那个面交换，和就更大了。
而 PA、PB、PC 两两垂直时显然 $\S{ABC}$ 最大，所以这时那个面积和一定不是最大。

走走看看

回复 4# kuing

不知道什么原因给出的参考答案是18。可能我写的标题不对。

kuing

回复 5# 走走看看

因为现在有那条件啊，我 4# 说的是无条件的情况下，有条件当然就不一样了。

走走看看

回复 6# kuing

您好！

我是说以P为顶点，当PA、PB、PC数字一定时，比如分别为6、8、10，那么三个侧面的面积和最大时，PA、PB、PC一定是两两垂直。

如果上述是正确的，把它们分别设定为x、y、z，不也一样吗？

kuing

回复 7# 走走看看

问题是你要确保外接球半径是 3 这个大前提
你随便固定的 x,y,z 值，它们不一定能够垂直

走走看看

回复 8# kuing

好的，谢谢！

PA、PB、PC换成6、7、2等也行啊。

不过确实不能保证外接球半径为3。

色k

我是说以P为顶点，当PA、PB、PC数字一定时，比如分别为6、8、10，那么三个侧面的面积和最大时，PA、PB、PC一定是两两垂直。

如果上述是正确的，把它们分别设定为x、y、z，不也一样吗？
走走看看 发表于 2020-10-3 10:38

还有，按这推理，定圆的内接三角形面积取最大值就一定是直角三角形时？