求$\sqrt 2\sin A+\sin B\sin C$的最大值

isee

原是选择题，其中有一个选项是2：在$\triangle ABC$中，则$\sqrt 2\sin A +\sin B\sin C$的最大值为_____.


个人的做法比较复杂，将角$A$化成$B$，$C$，然后反复辅助角公式，的确能得到个上限$2$，但等号是否成立，未细致验证。

kuing

A 化 B、C？为什么不反过来……`\sin B\sin C=(\cos(B-C)+\cos A)/2\le(1+\cos A)/2`

isee

终于是把此题的过程补了，源自知乎提问

注意到 $$\sin (x+y)\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y$$

\begin{align*} \sqrt 2\sin A +\sin B\sin C&=\sqrt 2\sin A+\sin\left(\frac {B+C}2+\frac {B-C}2\right)\sin\left(\frac {B+C}2-\frac {B-C}2\right)\\[1em] &=\sqrt 2\sin A+\sin^2\left(\frac {B+C}2\right)-\sin^2\left(\frac {B-C}2\right)\\[1em] &\leqslant \sqrt 2\sin A+\cos^2\frac {A}2\\[1em] &= \sqrt 2\sin A+\frac 12\cos A+\frac 12\\[1em] &= \frac 32\sin (A+\varphi)+\frac 12\\[1em] &\leqslant \frac 32+\frac 12\\[1em] &=2. \end{align*}

取“=”略.

爪机专用

回复 3# isee

擦，知乎那边说不要用积化和差，你觉得你用“正弦平方差公式”TA就能接受嘛？

isee

回复 4# 爪机专用

管Ta那么多，而且我确实没用
=================

话说回来，拆角啊，正弦平方差啊等等本质与积化和差同根同源，如果完全不用，怕是只能是两次辅助角公式，哈哈哈哈哈

kuing

回复 5# isee