g(m)＞min(f(1),f(2))的等价转换

走走看看

红色的式子与下面的式子等价吗？

有时就会看到用下面的式子替代上面的式子。

走走看看

回复 1# 走走看看

会不会根据（I）所得到的m，恰好使得f(1)>f(2)，它们之中都含有m。

同时根据（II）所得到的m，恰好使得f(2)>f(1)呢？

也就是说，这两个同时忽略附加条件，其合成效果是不是等同于红色的式子呢？

请老师们赐教！

走走看看

回复 2# 走走看看

也就是 g(m)>min(f(1),f(2)) ，是否可以写成

g(m)>f(1)或者g(m)>f(2)？

如果可以，解题时方便一些。

走走看看

回复 3# 走走看看

经常性看到楼上的写法，不免产生疑问。

3m＞min（(2m-1)，(5-2m)）

分类讨论：
当2m-1>5-2m，即m＞3/2时，3m＞5-2m得m＞1，所以m＞3/2。

当2m-1≤5-2m,即m≤3/2时，3m>2m-1得到m＞-1，所以-1<m≤3/2。

综上，m＞-1。

不讨论：
3m＞2m-1，得到m＞-1。
3m＞5-2m，得到m＞1。
取并集，m＞-1。

走走看看

回复 4# 走走看看

把3m改成-3m

-3m＞min（(2m-1)，(5-2m)）

分类讨论：
当2m-1>5-2m，即m＞3/2时，-3m＞5-2m得m＜-5，所以无解。

当2m-1≤5-2m,即m≤3/2时，-3m>2m-1得到m＜1/5，所以m＜1/5。

综上，m＜1/5。

不讨论：
-3m＞2m-1，得到m＜1/5。
-3m＞5-2m，得到m<-5。
取并集，m＜1/5。  

由于粗心，上次写成了m＜-5。

走走看看

回复 5# 走走看看

把3m改成常数3

3＞min（(2m-1)，(5-2m)）

分类讨论：
当2m-1>5-2m，即m＞3/2时，3＞5-2m得m＞1，所以m＞3/2。

当2m-1≤5-2m,即m≤3/2时，3>2m-1得到m＜2，所以m≤3/2。

综上，m可取任意实数。

不讨论：
3＞2m-1，得到m＜2。
3＞5-2m，得到m>1。
取并集，m可取任意实数。

走走看看

回复 6# 走走看看

回复 5# 走走看看

把3m改成常数-3

-3＞min（(2m-1)，(5-2m)）

分类讨论：
当2m-1>5-2m，即m＞3/2时，-3＞5-2m得m＞4，所以m＞4。

当2m-1≤5-2m,即m≤3/2时，-3>2m-1得到m＜-1，所以m＜-1。

综上，m＞4或者m＜-1。

不讨论：
-3＞2m-1，得到m＜-1。
-3＞5-2m，得到m>4。
取并集，m＞4或者m＜-1。

走走看看

总结一下：

4楼   3m＞min（(2m-1)，(5-2m)）  可以转换

5楼   -3m＞min（(2m-1)，(5-2m)）  可以转换

6楼   3＞min（(2m-1)，(5-2m)）  可以转换

7楼   -3＞min（(2m-1)，(5-2m)）  可以转换

也就是说，对于左边含未知数的式子能等价转换，
对于左边是常数的式子可以等价转换。

不知道这个总结是否全面。

zhcosin

这是个逻辑问题，首先说明 $ g(m)> min(f(1),f(2))$ 这个条件等价于 $g(m)>f(1)$ 或 $g(m)>f(2)$ 这个复合条件(为什么?用反证法便知)，于是我们用符号标记三个条件:
条件A: $m>1$
条件B: $g(m)>f(1)$
条件C: $g(m)>f(2)$
于是红色的部分便是 A and (B or C)
黑色的部分便是 (A and B) or (A and C)
离散数学稍微懂点的都知道这个分配律是成立的。