一道导数题 求思路

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已知$f(x)=e^x+(\ln x-a)\sin x$
(1)若$f(x)\geqslant \ln x\cdot \sin x$恒成立，求实数$a$的最大值。
(2)若$f(x)\geqslant 0$恒成立,求正整数$a$的最大值。