一道三角函数相关的不等式

zhcosin

设 $\alpha,\beta,\gamma \in [0,\pi]$，且三个角轮换对称满足下式:
\[ |\alpha-\beta| \leqslant \gamma \leqslant \min\{\alpha+\beta, 2\pi-(\alpha+\beta)\} \]
求证:
\[ \cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma} \leqslant 1+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma} \]
背景是三面角的余弦公式，二面角的余弦值必定在 $[-1,1]$ 之间得到的。

zhcosin

条件之所以那么丑，是因为三面角如果其中两个面角之和超过$\pi$的话，第三个面角最大其实不能达到前两者之和，而是周角减去它，不过既然条件变成这样丑了，那这个问题就不难了:
容易知道 条件的两边都在 $[0,\pi]$之间，所以
\[ \cos{(\alpha-\beta)} \geqslant \cos{\gamma} \geqslant \cos{(\alpha+\beta)} \]
于是
\[ |\cos{\gamma}-\cos{\alpha}\cos{\beta}| \leqslant |\sin{\alpha}\sin{\beta}| \]
平方变形就得结论.
这题就没得啥意思了，本来想脱离三面角背景弄出一个三角不等式，结果。。。。