$ a_{n+1}=a_n^2-2,a_0=4 $

realnumber

数列{$a_n$},$a_0=4,a_{n+1}=a_n^2-2,n\in N $
\[ 求证：当且仅当 2^n-1 \mid a_{n-2}时，2^n-1为素数.\]


因5楼要不暂时加个条件  n>2,晚上问找正主问一下。已问了，有类似条件，这个问题可以百度到，据说已经解决.

kuing

虽然会求通项，但对要证的东西完全没办法

realnumber

回复 2# kuing


  通项也好的啊，简单的话写一下，我只会算前3项

kuing

回复 3# realnumber

令 `a_n=b_n+\frac1{b_n}`

hejoseph

正确吗？$n=2$ 时，$a_0=4$，$2^2-1=3$，$3$ 是素数，但 $4$ 不能被 $3$ 整除。

kuing

回复 5# hejoseph

程序验证了前二十来项，只有第一项不成立……

hejoseph

回复 6# kuing
要验证也不必一个一个验证，$2^n-1$ 是素数，则必须 $n$ 是素数，此时 $2^n-1$ 就是 Mersenne 素数，目前知道的 Mersenne 素数是有限的。

睡神

回复 1# realnumber
上个百度链接膜膜～

abababa

从网友处得知这个主楼就是Lucas-Lehmer检测，充要条件，除了叙述不太一样，本质内容都一样。

睡神

回复 9# abababa
牛逼！证明太高大上，看不懂…