一个烦人的最值

力工

这题怎么好消灭？
已知$(x-y)^2+(y-1)^2=4z,(x-y-1)^2+y^2=z$，求$\dfrac{x-y}{z}$的最值。
解出$x-y$是不可能解的。

kuing

回复 1# 力工

为啥不可能解？`x-y=\frac14\left(3z+2\pm\sqrt{-(z-2)(9z-2)}\right)`

力工

额的神！解出来了觉得好丑啊，原来多漂亮。回复 2# kuing

力工

回复 2# kuing
好快！用的MMA？这样表示我也无头绪。

kuing

回复 4# 力工

是用了，但手算也不是难算吧不过接下来我也不知道最近没啥心思撸题

kuing

想用几何意义，有个思路：
令 `x-y=t`, `z=r^2`，条件即 `t^2+(y-1)^2=(2r)^2`, `(t-1)^2+y^2=r^2`，记 `A(1,0)`, `B(0,1)`, `P(t,y)`，也即 `PA=r`, `PB=2r`，因此 `P` 的轨迹是阿圆，目测知其方程为 `(t-4/3)^2+(y+1/3)^2=8/9`，然后求的是 `t/r^2` 的最值，也不知怎么撸下去感觉没什么卵用……

yao4015

回复 1# 力工

这个可能没得玩，最大最小值都是高次方程的根

kuing

回复 7# yao4015

不会吧，照 2# 的走下去，除以 z 再求导，方程也是二次而已

力工

回复 8# kuing

难在不知$\dfrac{t}{r^2}$的意义。而用三角换元，又无法解出$x-y$。

yao4015

回复 8# kuing


今天重新计算了下，得出来的结果是尽然是  $[2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}]$。可惜昨天没保存，也不知误在哪里了。

解法如下： $z$ 明显是多余的，直接消去变成，
约束： $(x-y)^2+(y-1)^2-4(x-y-1)^2-4y^2=0$
目标函数： $ \dfrac{x-y}{(x-y-1)^2+y^2}$  
求目标函数最大和最小值

令 $f=(x-y)^2+(y-1)^2-4(x-y-1)^2-4y^2,\   g=(x-y)-T((x-y-1)^2+y^2)$
作结式消去 $x$, 得到 $(8T^2-12T+9)y^2+(-8T^2+8T+6)y+4T^2-12T+9$, 再计算关于 $y$ 判别式，得到
$T$ 的多项式方程 $-4T^4+28T^3-65T^2+60T-18=0$, 可以被分解为 $(T^2-4T+2)(2T-3)^2$, 解出来
  $T=\dfrac{3}{2}, 2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}$

验证下，$[x = \dfrac{9-10\sqrt{2}}{17}, y = \dfrac{-8\sqrt{2}-3}{17}]$ 取最小值 $2-\sqrt{2}$
           $[x = \dfrac{9+10\sqrt{2}}{17}, y = \dfrac{8\sqrt{2}-3}{17}]$ 取最大值 $2+\sqrt{2}$

kuing

回复 9# 力工

三角换元其实也可以玩啊，也没啥特别的……

令 `x-y=t`，消 `z` 有 `t^2+(y-1)^2=4\bigl((t-1)^2+y^2\bigr)`，展开配方有 `(3t-4)^2+(3y+1)^2=8`，因此可令 `3t=4+2\sqrt2\cos\theta`, `3y=-1+2\sqrt2\sin\theta`，设所求式为 `T`，有
\begin{align*}
T&=\frac t{(t-1)^2+y^2}\\
&=\frac{3\cdot\bigl(4+2\sqrt2\cos\theta\bigr)}{\bigl(1+2\sqrt2\cos\theta\bigr)^2+\bigl(-1+2\sqrt2\sin\theta\bigr)^2}\\
&=\frac{6+3\sqrt2\cos\theta}{5+2\sqrt2(\cos\theta-\sin\theta)},
\end{align*}得到
\[(2T-3)\sqrt2\cos\theta-2\sqrt2T\sin\theta=6-5T,\]从而
\[2(2T-3)^2+8T^2\geqslant(6-5T)^2,\]解得 `2-\sqrt2\leqslant T\leqslant2+\sqrt2`。

zhcosin

第一个方程减去第二个方程得
\[ (x-y)^2-(x-y-1)^2-2y+1=3z \]
从中解得
\[ y = (x-y)-\frac{3}{2}z \]
将其代入第二个方程中的 $y^2$ 项，得
\[ (x-y-1)^2+\left[ (x-y)-\frac{3}{2}z \right] ^2=z \]
整理即得关于 $t=x-y$ 的一元二次方程
\[ 8t^2-4(2+3z)t+9z^2-4z+4=0 \]
动用求根公式得
\[ x-y=t= \frac{1}{4}(2+3z \pm \sqrt{(9z-2)(2-z)}) \]