已知切线被外接圆所截线段长 求三角形的面积

hbghlyj

锐角$\triangle$ABC，垂心为H，HBC的外接圆于H的切线交ABC的外接圆于X,Y，已知HA=3，HX=2，HY=6，求三角形的面积

kuing

如图，由于 `DE` 与 `\triangle BCH` 的外接圆切于 `H`，
得 `\angle DHC=\angle HBC=\angle HAC`，
得 `\angle HDC=\angle AHC=180^\circ-B`，
得 `\angle ADE=B=90^\circ-\angle OAC`，
所以 `OA\perp DE`。

至于接下来咋撸，时间关系先一觉再说……

kuing

续：图形调整一下，一来迎合原题数据，二来擦除一些已多余的点线，及作辅助线，如下图：

由相交弦定理得 `HN=HX\times HY/HA=4`，
熟知 `H`, `N` 关于 `BC` 对称，即 `HQ=QN=2`，故 `AQ=5`。

由楼上的 `OA\perp XY` 及 `HX=2`, `HY=6` 得 `HM=2`，
由 `AP:NP=AH:MH=3:2` 及 `AN=7` 易得 `AP=21/\sqrt5`，
熟知 `AH=2R\cos A`，而 `BC=2R\sin A`，得 `AH^2+BC^2=AP^2`，
故 `BC=\sqrt{AP^2-AH^2}=6\sqrt{11/5}`。

综上，面积为 `AQ\times BC/2=3\sqrt{55}`。

不知有没有更简单的算法……

zhcosin

回复 3# kuing
看图就被吓住了系列

kuing

回复 4# zhcosin

这样的图形都算复杂咩