求助两个数列问题

lemondian

（1）若数列${a_n}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=An+B$，$S_n$为其前$n$项和，则$S_4,S_8-S_4,S_{12}-S_8,\cdots $成等差数列，且公差为$8A$.
(2)若数列${a_n}$满足$a_{n+2}+(-1)^na_n=An+B$，$S_n$为其前项和.
问题：（1）如何证明？
（2）中有没有类似于（1）的性质，若有，如何证明？

zhcosin

(1) 有
\[ a_{n+1}+(-1)^n a_n=An+B \]
及
\[ a_{n+2}+(-1)^{n+1} a_{n+1}=A(n+1)+B \]
两式消去$a_{n+1}$得
\[ a_{n+2}+a_n=A(n+1)-(-1)^{n+1}An+B[1-(-1)^{n+1}] \]
于是
\[ a_{n+4}+a_{n+2}=A(n+3)-(-1)^{n+3}A(n+2)+B[1-(-1)^{n+3}] \]
两式再消去$a_{n+2}$得
\[ a_{n+4}-a_n = 2A-(-1)^{n+1}\cdot 2A \]
所以
\[ a_{4n+5}-a_{4n+1}=4A, a_{4n+6}-a_{4n+2}=0, a_{4n+6}-a_{4n+3}=4A, a_{4n+7}-a_{4n+4}=0 \]
下略.