三次函数两个变量和大于2求这两变量的函数值的和范围

isee

源自2021届高三北京海淀11月期中卷，第20题

已知函数$f(x)=ax^3-3ax^2+2+4a$，当$a>0$时，若$x_1+x_2>2$，求$f(x_1)+f(x_2)$的范围。

由此三次函数的中心对称点，可以猜测
$f(x_1)+f(x_2)\geqslant 2f(2)=4$，但似乎严格证明不好办。

kuing

当 `x+y>2` 时\[f(x)+f(y)=4+\frac a4\bigl( 3(x+y-2)(x-y)^2+(x+y+2)(x+y-4)^2 \bigr)\geqslant4,\]当 `x=y=2` 时取等。

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回复 2# kuing

前几刚学了一点三元三次齐对称，你这个二元三次神配方真是简，果然这些东西已经在你骨子里了。。

学习了

zhcosin

有
\[ f(x)=a(x-1)^3-3a(x-1)+2a+2 \]
令
\[ g(x)=f(1+x)=ax^3-3ax+2a+2 \]
及 $h(x)=g(x)-2a-2$，显见$h(x)$为奇函数，且在$(-\infty,-1)$及$(1,+\infty)$单调增加而在$(-1,1)$单调减少，$h(x)$在$[0,+\infty)$上有最小值$h(1)=-2a$.
再令$x_1=1+t_1$, $x_2=1+t_2$，则$x_1+x_2>2$等价于$t_1+t_2>0$，
若$t_1t_2\geqslant 0$，则
\[ h(t_1)+h(t_2) \geqslant h(1)+h(1) = -4a \]
取等条件: $t_1=t_2=1$
若$t_1t_2<0$，不妨设$t_1>0,t_2<0$，且有$t_1>-t_2$则
\[ h(t_1)+h(t_2)=h(t_1)-h(-t_2) \]
简单讨论下，若$0 \leqslant -t_2 < t_1 \leqslant 1$，有
\[ h(t_1)-h(-t_2) > h(1)-h(0) = -2a \]
若$1 \leqslant -t_2 < t_1$，则
\[ h(t_1)-h(-t_2) > 0 > -2a \]
若$0 \leqslant -t_2 \leqslant 1 < t_1$，则
\[  h(t_1)-h(-t_2) > h(1)-h(0)=-2a \]
所以在$t_1t_2<0$时最终都有
\[ h(t_1)-h(-t_2) > -2a \]
所以最终得到
\[ h(t_1)-h(-t_2) \geqslant -2a \]
并且取等条件是$t_1=t_2=1$.
也就是$x_1=x_2=2$时, $f(x_1)+f(x_2)$有最小值4.
而固定$t_1=1$时
\[ h(t_1)+h(t_2)=h(1)+h(t_2)=at_2^3-3at_2-2a \]
易知当$t_2>-1$时，其值域为$[-2a,+\infty]$
故知$h(t_1)+h(t_2)$取值范围为$[-2a,+\infty]$，也即$f(x_1)+f(x_2)$取值范围为$[4,+\infty)$
思路其实简单，写出来麻烦，勿喷。