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鄂D山羊无角 2020/11/11 20:36:03
大家都在啊，节快
请问 g(x)=xlnx-(x-a)ln(x-a), a<x<1，取哪点m可以说明g(m)<0?
取e^(a-1)，我证明不出来。
极限一句话：`x\to a` 时 `(x-a)\ln(x-a)\to0`，而 `a\ln a<0`，自然 `g(x)<0`。
取点？我也不熟，反正麻烦……
若 `a<1/4`，则取 `m=2a`，有 `g(m)=2a\ln(2a)-a\ln a=a\ln(4a)<0`；
若 `a\geqslant1/4`，记 `u=\ln^2\sqrt a`，则 `u<1` 且不难证明恒有 `(1+u)a<1`，取 `m=(1+u)a`，容易计算出
\[g(m)=a\bigl((1+u)\ln(1+u)-u\ln u+\ln a\bigr),\]因为 `\ln(1+u)<u<\sqrt u` 且易证 `u\ln u>\sqrt u(u-1)`，所以
\[(1+u)\ln(1+u)-u\ln u+\ln a<2\sqrt u+\ln a=0,\]即 `g(m)<0`。 |
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