正方形相关几何证明

wzyl1860

如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,点F在BC上,且AE=BF=FG,EF交DG点 H.
M为BH中点,作∠MCN=45°交EF于点N,求证:HN=DN

kuing

首先如上图，有\[\tan\angle GDB=\frac{GI}{ID}=\frac{BI}{ID}=\frac{BF}{FC}=\frac{BF}{BE}=\tan\angle FEB,\]可见 `\angle H=45\du`，于是以 `DH` 为对角线作正方形 `DKHJ`，则 `K` 在直线 `EF` 上，如下图：

熟知 `BH` 的中点 `M` 与 `KC` 构成等腰直角三角形，由此可见这个点 `K` 就是原题中的点 `N`，所以命题得证。

isee

回复 1# wzyl1860

这个等线段，不知道怎么用。。。

看这个方方正正，用解析法，验证了一半，角$\angle CMN=90\circ$。

当然，这绝对不是楼主所期望的。

以点A为坐标原点，向量$\vv{AB}$为$x$轴，设$AB=1$，$AE=a$，硬算可以得$$H\left(\frac {a^2-a+1}{2a^2-2a+1},\frac {2a^3-a^2+a}{2a^2-2a+1}\right),M\left(\frac {3a^2-3a+1}{4a^2-4a+2},\frac {2a^3-a^2+a}{4a^2-4a+2}\right),N\left(\frac {a^3-a^2+a}{2a^2-2a+1},\frac {a^3}{2a^2-2a+1}\right),$$由于，个人对$CM,MN$是否垂直更有兴趣，硬算得(算式略，应该也没人有兴趣)$2\abs{CM}^2=\abs{CN}^2$。

猜测三角形$DNH$理应也是等腰直角三角形，不过，没进一步了计算了……

isee

回复 2# kuing


擦，又撞车了~~

isee

回复 2# kuing


这个等线用得好，我连接的$AC$，方向完全不同，没有找到出路

isee

回复 2# kuing

这个前半段的45度，同事的无字证明。

色k

回复 6# isee

乃思！

wzyl1860

角H=45度容易搞定，主要是△CKM等腰直角搞不定

wzyl1860

不知道不用同一法能否搞定？

乌贼

回复 9# wzyl1860

易证$ DEBH $四点共圆，$ BC $延长线交园与$ K $，有\[ \angle FHG=\angle KHG=45\du  \]由$ \triangle EBF\sim \triangle KHF $及角平分线定理知\[ \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{FH}{HK}=\dfrac{FG}{GK}\riff BE=GK=FC \]又\[ \triangle KGD\sim \triangle HGB\riff \dfrac{KG}{DG}=\dfrac{HG}{GB}=\dfrac{MF}{FB}\riff \dfrac{FC}{DG}=\dfrac{MF}{GF}\riff \dfrac{GF}{GD}=\dfrac{FM}{FC} \]由$ \dfrac{GF}{GD}=\dfrac{FM}{FC} $及$ \angle DGF=\angle CGL=\angle CFM $得\[ \triangle DGF\sim \triangle CFM \]因此$ \angle LDF=\angle LCF $即$ DCLF $四点共圆。得\[ \angle DLF=\angle DGF=90\du \riff \angle LFH=45\du=LCN  \]有$ DCLFN $五点共圆，得\[ \angle DNF=90\du  \]综上$ \triangle DNH $为等腰直角三角形，故\[ DN=NH \]

isee

回复 10# 乌贼

这三个等线段的应用实在是高，绝处逢生！

不过，一如继往的图形特别的复杂，就像我解析证明一样，看图就吓跑了.

以下证明的内核是 乌贼 的，从我的角度，当$\angle DHE=45^\circ$之后，便将三角形$DAE$绕点$A$逆时旋转90度到三角形$DCK$，于是$D,E,B,H,K$五点共圆，且$FC=KG$.





连接$FM$则，$FM\sslash GH,FM=\frac 12 GH$，而由五点共圆有$$CF\cdot 2GF=KG\cdot 2GF=DG\cdot 2FM\iff \frac {CF}{FM}=\frac {DG}{GF},$$进一步知，图中红黄两三有形相似，再进一步，易得$D,F,C,L$四点共圆，再回来当初的$\angle DHE=45^\circ$，连接$FL$即得$\angle LFH=45^\circ=\angle NCL$，再次有$N,F,L,C$四点共圆，即五点$$D,N,F,L,C\text{共圆},$$证毕.

两次相似，五次共圆，啧啧啧啧啧

isee

回复 10# 乌贼


此证得命题之后，便可接2楼最后，可导出NM垂直于CM了。

isee

哪是不是意味着NM垂直于CM更难？或者说与原命题等价？

乌贼

回复 13# isee
几何也有套路，我的思路是欲证结论得需两颜色三角形相似，两三角形已有一角相等，再需两边成比例，从而想到三角形BFM（即三角形BGH）与谁相似。然后构造……