抽象函数

APPSYZY

该抽象函数是否能求出表达式？如果可以的话，表达式唯一吗？

kuing

易证 `f(x)` 是奇函数，所以只需考虑 `x>0` 时，此时令 `f(x)=x\cdot g(\ln x)`，则对任意 `a`, `b>0` 有 `f(ab)=ab\cdot g(\ln a+\ln b)` 以及 `af(b)+bf(a)=ab\cdot g(\ln a)+ab\cdot g(\ln b)`，所以 `g(\ln a+\ln b)=g(\ln a)+g(\ln b)`，即 `g(x)` 满足柯西方程 `g(x+y)=g(x)+g(y)`，且只有 `g(\ln2)=1/2` 这一个条件，不能确定 `g(x)` 的解析式，从而 `f(x)` 也不能确定。

青青子衿

这道函数方程的题干是不是漏了“连续”、“可导”这样的条件？

kuing

回复 3# 青青子衿

题目后面求的是什么我们没看到，所以未必需要确定 f 的解析式。