到（平面上）5个定点距离和最小的点的位置

realnumber

到3定点和4定点，晓得的
到5定点或以上，被小伙子难倒了

kuing

来个简单情形试试看：

`A(0,0)`, `B(2,0)`, `C(2,2)`, `D(0,2)`, `E(0,1)`，求 `P` 使之到这五点的距离和最小。

首先证明所求 `P` 一定在 `y=1` 上，若不在，记 `P` 在 `y=1` 上的投影为 `P'`，则 `PA+PD>P'A+P'D`, `PB+PC>P'B+P'C`, `PE>P'E`，从而 `P'` 使距离和更小。

于是问题变成 `P(x,1)`，求 `2PA+2PB+PE` 的最小值，显然只需考虑 `x\in[0,2]` 上的，即求 `2\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{(x-2)^2+1}+x` 的最小值，求导发现需要解四次方程……

所以更一般的话，我看就算了吧……

realnumber

谢谢kk,看来就这样了。

TSC999

那要是空间的 5 个点，就更复杂了。如果可以用 mathematica 软件求数字解，那很容易。

1. xa = 0; ya = 0; xb = 2; yb = 0; xc = 2; yc = 2; xd = 0; yd = 2; xe = \
2. 0; ye = 1;
3. FindMinimum[{Sqrt[(x - xa)^2 + (y - ya)^2] +
4.    Sqrt[(x - xb)^2 + (y - yb)^2] + Sqrt[(x - xc)^2 + (y - yc)^2] +
5.    Sqrt[(x - xd)^2 + (y - yd)^2] + Sqrt[(x - xe)^2 + (y - ye)^2]}, {x,
6.    y}]

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程序计算结果是 {6.32709,{x->0.375554,y->1.}}，就是说当 x=0.375554，y=1 时，该点到其余五个点的距离之和最小，等于 6.32709。
这个程序也应该适用于更多个点，以及三维空间的情况。