一道向量积的最值计算

走走看看

$\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 的内切圆，已知 $A C=3,B C=4, \angle C=90\du$，过圆心 $O$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $P, Q$ 两点，則 $\vv{B P}\cdot\vv{CQ}$ 的取值范围是

可以用极化恒等式计算吗？

kuing

可以啊
$\vv{BP}+\vv{CQ}=\vv{BO}+\vv{OP}+\vv{CO}+\vv{OQ}=\vv{BO}+\vv{CO}=\text{定值}$
$\vv{BP}-\vv{CQ}=\vv{BO}+\vv{OP}-\vv{CO}-\vv{OQ}=\vv{BC}+\vv{QP}$
故 $4\vv{BP}\cdot\vv{CQ}=\text{定值}-(\vv{BC}+\vv{QP})^2$，所以最值一定是 `PQ` 与 `BC` 平行时取得。

走走看看

回复 2# kuing

很好！谢谢！

现在的问题转化成BO、CO的长度问题，设内切圆与BC的切点为D，求出BD、CD、OD长就可以了。

敬畏数学

回复 3# 走走看看 都搞成这样了，还需要那么复杂吗？口算即可啊。。。。。

走走看看

回复 4# 敬畏数学

易知r=1，然后可以口算。答案是[-7,1]。