首项未知的分别奇偶项是等差(比)数列中的不等式

isee

已知数列$\left\{a_n \right\}$，$\left\{b_n \right\}$均为递增数列，$\left\{a_n \right\}$的前$n$项和为$S_n$，$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和为$T_n$.  且满足$a_n+a_{n+1}=2n$，$b_n\cdot b_{n+1}=2^n(n\in \text{N})$，则下列说法正确的有(    )

A．$0<a_1<1$        B．$1<b_1<\sqrt{2}$        C．$S_{2n}<T_{2n}$        ……

kuing

标题是不是有问题，题没说是等差等比，实际上也不一定是啊……

isee

回复 2# kuing

哦，分奇偶项，改改去，先

isee

先看$\left\{a_n \right\}$，对于$a_1$的范围，由递增数列，易知 A 项正确.

对于$$S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n-1}(a_k+a_{k+1})=2\sum_{k=1}^{2n-1}k=2n^2.$$


再看$\left\{b_n \right\}$，对于$a_1$的范围，由递增数列，易知 B 项正确.

由递推式，可知$b_{n+2}=2b_n$，于是$$T_{2n}=(b_1+b_3+\cdots+b_{2n-1})+(b_2+b_4+\cdots+b_{2n})=(b_1+b_2)(2^n-1)> 2\sqrt{b_1b_2}(2^n-1)>2n^2.$$