函数数列高斯函数求和

isee

看着是挺江苏的：

对于正整数$n$，设${{x}_{n}}$是关于$x$的方程$\frac{1}{{{x}^{2}}}-{{\log }_{n+1}}{{x}^{n}}={{n}^{2}}+3n$的实数根.记${{a}_{n}}=\left[ \frac{1}{2{{x}_{n}}} \right]$，其中$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，则${{a}_{1}}=$_____；设数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的前$n$项和为${{S}_{n}}$则$\sqrt{{{S}_{2020}}}=$___.

kuing

看着吓人，其实就是简单的估计根的范围。

首先换个元让式子好看些，令 `y_n=1/x_n`，条件即 `y_n^2+n\log_{n+1}y_n=n^2+3n`，令 `f(x)=x^2+n\log_{n+1}x-n^2-3n`，显然递增，且有 `f(n)=n(\log_{n+1}n-3)<0` 及 `f(n+1)=(n+1)^2+n-n^2-3n=1`，可见 `n<y_n<n+1`，即得 `a_n=[y_n/2]=[n/2]`。

isee

回复 2# kuing

我还分奇偶给的结果，然来直接取整。。。。

$a_1=0$；$\sqrt{S_{2020}}=1010$。

敬畏数学

套路题，换了个样子。硬算也可以的。