中线长公式立功然后上韦达定理求定点

isee

已知椭圆$C:\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右焦点分别为${{F}_{1}}$，${{F}_{2}}$，点$P$为坐标平面内的一点，且$\left| \overset{\to }{\mathop{OP}}\, \right|=\frac{3}{2}$，$\overset{\to }{\mathop{P{{F}_{1}}}}\,\cdot \overset{\to }{\mathop{P{{F}_{2}}}}\,=-\frac{3}{4}$，$O$为坐标原点.
（1）求椭圆$C$的方程；
（2）设$M$为椭圆$C$的左顶点，$A$，$B$是椭圆$C$上两个不同的点，直线$MA$，$MB$的倾斜角分别为$\alpha $，$\beta $，且$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$证明：直线$AB$恒过定点，并求出该定点的坐标.

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今天几个题来自江苏，湖北等八校12月上旬高三的联考，公式由word默认转的，所以公式勿究~

kuing

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\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 ……
这码转得也太……
还有这个 \overset{\to }{\mathop{P{{F}_{1}}}}\,\cdot \overset{\to }{\mathop{P{{F}_{2}}}}\,= ……

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回复 3# kuing


    不知道会不会拖慢显示速度

kuing

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理论上会，但人应该感觉不出来

isee

回复 1# isee


简解：记$PF_1=p$，$PF_2=q$，则由中线长公式有$$\frac 94=\frac 12 p^2+\frac 12 q^2-\frac 14\cdot 4c^2,$$
又$$\vv{F_1P}+\vv{PF_2}=\vv{F_1F_2}\Rightarrow p^2+2\vv{F_1P}\cdot \vv{PF_2}+q^2=4c^2,$$
将$\vv{F_1P}\cdot \vv{PF_2}=\frac 34$代入，解方程组得$$c^2=3.$$

从而椭圆$C:\frac {x^2}4+y^2=1$。

设直线$AB$的方程为$y=mx+n$，$A)(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。
直线与椭圆联立，消$y$得$$(4m^2+1）x^2+8mnx+4n^2-4=0,$$于是$$x_1+x_2=-\frac{8mn}{4m^2+1},x_1x_2=\frac{4n^2-4}{4m^2+1},y_1y_2=(mx_1+n)(mx_2+n)=\frac{n^2-4m^2}{4m^2+1},$$
由$$\alpha+\beta=\frac {\pi}2\iff k_{MA}\cdot k_{MB}=1\iff y_1y_2=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4,$$
代入数据，化简得$$20m^2-16mn+3n^2=0\iff (2m-n)(10m-3n)=0,$$
直线不过点$M$，知$$n=\frac {10}3m\Rightarrow y=m\left(x+\frac{10}3\right),$$
即直线过定点$(-10/3,0)$。