对数函数与指数函数的公切线

isee

4．已知直线$l$与曲线$f\left( x \right)=e^x$和$g\left( x \right)=\ln x$分别相切于点$A\left( x_1,y_1 \right)$，$B\left( x_2,y_2\right)$.有以下命题：
（1）$\angle AOB>90^\circ $($O$为原点)；
（2）$x_1\in \left( -1,1 \right)$；
（3）当$x_1<0$时，$x_2-x_1>2\left( \sqrt 2+1 \right)$. 则真命题的个数为（    ）

  C．2


位置在第4题，不是难，是繁琐，（1），(3)正确

facebooker

已知曲线$y=\ln x$在$A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$两点处的切线分别与曲线$y=e^{x}$相切于$C\left(x_{3},y_{3}\right),D\left(x_{4},y_{4}\right)$则$x_{1}x_{2}+y_{3}y_{4}=~$

请问这个怎么做啊？

kuing

回复 2# facebooker

这也太简单了吧……
由对称性有 `x_1=y_4`, `x_2=y_3`，由切点导数相等有 `1/x_1=e^{x_3}=y_3`，所以 `x_1x_2+y_3y_4=2x_1y_3=2`。

敬畏数学

根据图形，第一显然正确，第二当x1=0显然错误，第三x2=e^(-x1)-x1，估值，估计x1范围，e^x1=(x1+1)/(x1-1)当x1<0时二分法试根知x1∈（-2，-3/2）得到第3正确。