$a^{a^a}$与$a^a$的个位不同

hbghlyj

对正整数a,求证:$a^{a^a}$与$a^a$的个位不同,当且仅当$a\equiv2,18\pmod {20}$

睡神

回复 1# hbghlyj
自创题？显示a=10时，它们的个位相同呀

hbghlyj

回复 2# 睡神
哈哈,原题是a<2015求这样的a的个数.
1楼的错误已修正.(我已证出,但比较麻烦,希望得见更好的做法.如果到2021年1月1日没有回复的话,我就帖出我的麻烦的做法)
感谢指正!

tommywong

$2\mid a(a-1)\Rightarrow 2\mid a^a(a^{a^a-a}-1)$

$a^a(a^{a^a-a}-1)\equiv\begin{cases}
a^0 (a^{0^a-0}-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 0\pmod{4}\\
a^1 (a^{1^a-1}-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 1\pmod{4}\\
a^2 (a^{2^a-2}-1)\equiv a^2 (a^{0-2}-1)\equiv a^2(a^2-1)\pmod{5},~a\equiv 2\pmod{4}\\
a^3 (a^{3^a-3}-1)\equiv a^3 (a^{3^1-3}-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 3\pmod{4}\end{cases}$

$a^2(a^2-1)\equiv\begin{cases}
0^2(0^2-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 0\pmod{5}\\
1^2(1^2-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 1\pmod{5}\\
2^2(2^2-1)\equiv 2\pmod{5},~a\equiv 2\pmod{5}\\
3^2(3^2-1)\equiv 2\pmod{5},~a\equiv 3\pmod{5}\\
4^2(4^2-1)\equiv 0\pmod{5},~a\equiv 4\pmod{5}\end{cases}$

$a^{a^a}-a^a\equiv\begin{cases}2\pmod{5},~a\equiv 2,18\pmod{20}\\0\pmod{5},~\text{otherwise}\end{cases}$

$a^{a^a}-a^a\equiv\begin{cases}2\pmod{10},~a\equiv 2,18\pmod{20}\\0\pmod{10},~\text{otherwise}\end{cases}$

hbghlyj

回复 4# tommywong
感谢解答!