求助一个不等式

lemondian

若$a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leqslant  1$。
如何证明？
琴生不等式能证不？

色k

明显可以

lemondian

回复 2# 色k
有空写下吗？麻烦你了

kuing

等价于 `x,y,z>0,x+y+z=1,\sum\sqrt{x/(6x+1)}\le1`，这样就不需要我再写了吧

lemondian

回复 4# kuing
不用琴生的证法我在别处看到。
想看看能否用琴生来证。
我试过一下，不等号搞出来是反向的
@kuing 你的证法是琴生吗？

色k

回复 5# lemondian

就是计算二阶导数而已啊，你检查下有没有计算错就好了

lemondian

回复 6# 色k
好难求导呀，不知是不是这个？
$f'(x)=\frac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}(6x+1)^{\frac{3}{2}}}$,
$f''(x)=-\frac{1}{4}\times \dfrac{24x+1}{x^{\frac{3}{2}}(6x+1)^\frac{5}{2}}$

kuing

回复 7# lemondian

难算就别用了，这题用琴生算是大炮打蚊子，该不等式其实很弱，因为显然 x/(6x+1) 也是上凸的，也就是说可以放心放缩去根号，变成常规简单题。

比如说 `\frac a{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\le\frac32(\frac19+\frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2})`，或者 `\sum\frac a{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\le\sqrt{3\sum\frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}}`，然后随便玩……

力工

是2020摩尔多瓦的题？

lemondian

另一个不等式

kuing

回复 10# lemondian

这不等式也太……弱……首先由条件知 `\sum a^3\geqslant\sum a^2\geqslant\sum a=3`，于是
\[\LHS\geqslant\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^2+2\sum a^3}\geqslant\frac13\sum a^3\geqslant1.\]

lemondian

回复 11# kuing
谢谢kuing的解答！
有两个问题：
（1）首先由条件知这个不等关系不懂    ，可否写详细点？
（2）看似这个不等式可以推广到n元？又如何证？

kuing

回复 12# lemondian

切比雪夫

lemondian

回复 13# kuing
不好意思，第一次听说"切比雪夫"这个不等式！
好象关键是证得$\sum a^3\geqslant\sum a $
用两次柯西好象就可以了：（不知对不对？@kuing）
由柯西不等式：$\sum a\sum a^3\geqslant (\sum a^2)^2\geqslant \dfrac{(\sum a)^4}{9}$；
所以$\sum a^3\geqslant \sum a$.
从而有$(\sum a^3)^2\geqslant \sum a\sum a^3\geqslant (\sum a^2)^2$,两边开方，即得$\sum a^3\geqslant\sum a^2 $.
下同#11.

kuing

回复 14# lemondian

切比雪夫不等式是排序不等式的推论，见：baike.baidu.com/item/切比雪夫总和不等式/797794

由此立得 `\sum a^3\ge\frac13\sum a\sum a^2=\sum a^2\ge\frac13\sum a\sum a`。

同理：若 `a_i>0`, `1\le i\le n`, `\sum a_i=n`, `m>0`，则 `\sum a_i^{m+1}\ge\sum a_i^m`。