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战巡
发表于 2021-1-1 11:13
回复 1# hjfmhh
这里定义一下，比赛双方必须打满全部$2n+1$局，当一方恰好赢得$n+1$场获胜时，称为“险胜”，以大于$n+1$场胜利时，称“大胜”
故此有
\[P_n(甲险胜)=C^{n+1}_{2n+1}p^{n+1}(1-p)^n\]
\[P_n(乙险胜)=C^{n+1}_{2n+1}p^{n}(1-p)^{n+1}\]
\[P_n(甲胜)=P_n(甲险胜)+P_n(甲大胜)\]
另一方面，如果此时多打两场，会有
\[P_{n+1}(甲胜)=P_n(甲大胜)+P_n(甲险胜)\cdot(2p(1-p)+p^2)+P_{n}(乙险胜)\cdot p^2\]
\[P_{n+1}(甲胜)=P_n(甲胜)-P_n(甲险胜)+P_n(甲险胜)\cdot(2p(1-p)+p^2)+P_{n}(乙险胜)\cdot p^2\]
\[=P_n(甲胜)+P_n(甲险胜)(2p-2p^2+p^2-1)+P_{n}(乙险胜)\cdot p^2\]
\[=P_n(甲胜)-P_n(甲险胜)(1-p)^2+P_{n}(乙险胜)\cdot p^2\]
\[=P_n(甲胜)-C^{n+1}_{2n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+2}+C^{n+1}_{2n+1}p^{n+2}(1-p)^{n+1}\]
\[=P_n(甲胜)+C^{n+1}_{2n+1}p^{n+1}(1-p)^{n+1}(2p-1)\]
当$p>\frac{1}{2}$时后面是正的，因此会有
\[P_{n+1}(甲胜)>P_n(甲胜)\] |
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