实系数及复系数一元四次方程的公式解

TSC999

对于实数系数或复数系数的一元四次方程，有以下公式解（证明过程暂时略去)。
令：


上面这个图片中的公式，经选择各种不同的系数（包括复数系数），试算了几十次，均未发现有错误。

下页给出公式在 mathematica 中使用的代码。

TSC999

1. (* 一元四次方程 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 的公式解 *)
2. Clear["Global`*"];
3. b = 11; c = 46; d = 96; e = 120;(* 结果正确，两对虚 *)
4. b = 11; c = -46; d = 9.6; e = 120;  (* 结果正确，二实二虚 *)
5. b = -11; c = -4.6; d = 0.9766; e = -23;  (* 结果正确，二实二虚 *)
6. b = -1.231; c = -14.6; d = 20.9766; e = -2.7563;  (* 结果正确，四个实根 *)
7. b = 11; c = 46; d = 96; e = 10;(* 结果正确，两实两虚 *)
8. b = -1.1; c = 4.6; d = 96; e = 10;(* 结果正确，两实两虚 *)
9. b = -1.1; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6]; e = 10;(* 结果正确，两对虚 *)
10. b = -1.1 I; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e = 1;(* 结果正确，两对虚 *)
11. b = 5 + 1.1 I; c = Sqrt[3] - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e =
12. 1 - I Sqrt[7.1];(* 结果正确，两对虚 *)
13. b = -Sqrt[7]; c = 3; d = -Sqrt[7]; e = 1;(* 结果正确，两实两虚 *)
14. u = 1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2;    v =
15. 48 b d - 16 c^2 - 192 e;
16. p = Power[Sqrt[u^2 + 4 v^3] + u, (3)^-1];  q = Sqrt[(
17. 6 p b^2 + Power[4, (3)^-1] p^2 - 16 c p - 2 Power[2, (3)^-1] v)/p];  
18. A = Sqrt[1/
19.    6 (6 b^2 - 16 c - (2 Power[2, (3)^-1] v)/p + Power[4, (3)^-1] p)];  
20. m1 = 24 Sqrt[6] p b^2 + 8 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] p^2 -
21.   64 Sqrt[6] c p - 8 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] v;  m2 = 24 p q b;
22. n1 = 2 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] b p^2 + 8 Sqrt[6] b c p -
23.   48 Sqrt[6] d p - 2 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] b v;  n2 =
24. Power[4, (3)^-1] q p^2 + 8 c q p - 2 Power[2, (3)^-1] v q;
25. x1 = (-(m1 + m2) + Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/(
26. 96 p q); x2 = (-(m1 + m2) - Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/(
27. 96 p q);
28. x3 = ((m1 - m2) + Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/(
29. 96 p q); x4 = ((m1 - m2) - Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/(
30. 96 p q);
31. Print["x1 = ", N[x1], "，  x2 = ", N[x2], "，  x3 = ", N[x3],
32.   "，  x4 = ", N[x4]];
33. NSolve[x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e == 0, x]

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TSC999

上面这个程序中的最后一行，是用 NSolve 指令给出一元四次方程的标准数字解答，以便与程序给出的答案进行对照。两者应该相同。如果不一样，就是程序中有错误了。

方程采用不同的系数进行多轮计算，均没有发现有什么错误。

战巡

回复 2# TSC999

这是干嘛？重复发明轮子？

四次方程通解，参考费拉里公式.......
当然还不止这一种解法，还有用别的方法推的

TSC999

回复 4# 战巡

上面这个结果正是使用了费拉里公式，这个公式只是给出了方法，但是没有给出最终的四个根的公式。网上查了许多给出四个根的公式，不是有错就是不尽人意(例如需要分别判定种种情况)，还不一定能用于复数系数。

TSC999

上面这个求根公式，一开始并没有想到它也能适用于复数系数。后来用复系数试了试，居然全都正确。

在实际问题中，如果只是想求出四次方程的数字解，而手头又有 mathematica 软件时，可以使用 $ NSolve[a x^4+b x^3+c x^2+d x+e= =0, x] $ 这条指令求解。

如果您没有 mathematica 软件，才有必要考虑使用本公式求出数字解。数学手册中给出的公式，全是先解一个三次方程，再解两个二次方程的办法，比较麻烦。

TSC999

网上有下面这个一元四次方程的求根公式，经验证，同样也是适用于实系数和复系数的四次方程：