一道将错就错的最值题目

facebooker

实数$x,y>0$，则$\frac{(2x+1)(y+2)}{2x^2+5y^2+7}$的最大值为___，如果不限定$x,y$正负，你能求出最小值吗？

色k

为什么说将错就错？

facebooker

回复 2# 色k

原题y+1 改成y+2 数字略难看一些

kuing

回复 3# facebooker

那也不算是错啊，还好了，也没出现根号，不算很难看……

kuing

最大值：
\[\frac{(2x+1)(y+2)}{2x^2+5y^2+7}=\frac{11}{14}-\frac{2(11x-7y-14)^2+3(13y-7)^2}{154(2x^2+5y^2+7)};\]最小值：
\[\frac{(2x+1)(y+2)}{2x^2+5y^2+7}=-\frac12+\frac{2(x+y+2)^2+3(y-1)^2}{2(2x^2+5y^2+7)}.\]

facebooker

老哥 你这神配方咋想出来的啊？
另外 这题有没有柯西不等式之类的常规解法呢？

kuing

回复 6# facebooker

这配方当然是先通过别的方法计算出答案之后再凑出来的装逼解法啊

mowxqq

回复 6# facebooker


    $\begin{split}\dfrac{2xy+4x+y+2}{2x^2+5y^2+7}=&\dfrac{2xy+4x+y+2}{\left(\dfrac{14}{33}x^2+\dfrac{42}{11}y^2\right)+\left(\dfrac{52}{33}x^2+\dfrac{588}{143}\right)+\left(\dfrac{13}{11}y^2+\dfrac{49}{143}\right)+\dfrac{28}{11}}\\\le&\dfrac{2xy+4x+y+2}{\dfrac{28}{11}xy+\dfrac{56}{11}x+\dfrac{14}{11}y+\dfrac{28}{11}}=\dfrac{11}{14},\end{split}$
分母中的系数可以先待定一下根据比例算出来，但是这个数字有点点麻烦，我还是选择先看ku版的配方再回来写系数

hejoseph

两次判别式就行。令 $t=(2x+1)(y+2)/(2x^2+5y^2+7)$，得 $5ty^2-(2x+1)y+2tx^2-4x+7t-2=0$，这个关于 $y$ 的一元二次方程的判别式为 $(2x+1)^2-4\cdot 5t\cdot (2tx^2-4x+7t-2)=4(1-10t^2)x^2+4(1+20t)x+1+40t-140t^2\geqslant 0$，$4(1-10t^2)x^2+4(1+20t)x+1+40t-140t^2=0$ 这个关于 $x$ 的一元二次方程的判别式 $(4(1 + 20 t))^2-4(4(1-10 t^2))(1+40t-140t^2)=-800t^2(2t+1)(14t-11)\geqslant 0$