可以用仿射变换吗？

依然饭特稀

kuing

感觉不太可行，事关仿射变换不保线段长度。

大概还是要暴算吧，首先反过来，椭圆不动让直线绕原点转，于是可设直线为 `x\cos t+y\sin t+6/5=0`，然后联立啥啥……

mowxqq

由于原点到直线距离恒为 $\dfrac{6}{5}$，即求 $\triangle OAB$ 的面积最大值.
由于对任意割椭圆的直线 $AB$ 当 $OA,OB$ 两个方向共轭时 $\triangle OAB$ 时面积最大为 $\dfrac{1}{2}ab$，
这里来检验一下能不能取到：
当 $OA,OB$ 两个方向共轭时有 $OA^2+OB^2=a^2+b^2$，

①当椭圆焦点在 $x$ 轴上，即为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 时，直线过其右顶点，显然有 $OA^2+OB^2>5$;
②当椭圆焦点在 $y$ 轴上，即为 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ 时，
本来想估一下的，但试了下估不出来，还是得算一下
联立方程得 $73x^2-36x-28=0$，
则 $x_1^2+x_2^2=\dfrac{36(x_1+x_2)+56}{73}=\dfrac{36^2+56\times73}{73^2}=\dfrac{5384}{5329}>1$，
所以此时 $OA^2+OB^2=8-3(x_1^2+x_2^2)<5$.

由①②知必然存在某个椭圆使 $OA^2+OB^2=5$，
此时 $S_{\triangle OAB}=1$，则 $|AB|$ 的最大值为 $\dfrac{5}{3}$.

kuing

回复 3# mowxqq

有道理，乃思！！

lemondian

回复 3#
这个如何证明呢？
由于对任意割椭圆的直线$AB$,当$OA,OB$两个方向共轭时$△OAB$时面积最大为$1/2ab$.

kuing

回复 5# lemondian

变成圆显然啊

lemondian

回复 6# kuing
用参数方程来证好象蛮容易的。
刚才想了一下，这里还有一个问题：
若任意直线$l$交椭圆于两点$A，B$,当$OA,OB$为椭圆的共轭半径时，$△OAB$时面积最大，为$\frac{1}{2}ab$，且$OA^2+OB^2=a^2+b^2$.

@kuing:反之，若任意直线$l$交椭圆于两点$A，B$,且$OA^2+OB^2=a^2+b^2$，能否说明：$OA,OB$为一定为椭圆的共轭半径？

3#的证明，是认为：$OA,OB$为一定为椭圆的共轭半径，故有$△OAB$时面积$\frac{1}{2}ab$。

kuing

回复 7# lemondian

嗯，反之是不一定的，得限制一下：
长短轴把椭圆分成的四块，那 OA、OB 得在相邻的两块。
标准椭圆的话，就是斜率之积不能为正。
3# 加上这点细节说明就没问题了，那两个瞬间之间的旋转过程满足这一点。

lemondian

回复 8# kuing
看不明白你这个哩。

你在2#的做法有没有详解，也想学习一下直线旋转方面的东西

hejoseph

椭圆中 $OA$、$OB$ 互为共轭半径，那么 $OA^2+OB^2=a^2+b^2$，$OA\cdot OA\cdot\sin\angle AOB=ab$。