角平分线+中点证四点共圆

12673zf · 2021-1-15 14:12

一道感觉很熟悉的几何题，但怎么感觉都差一点，求助
$BC>AB，BD$是角平分线，$CP\perp BD,AQ\perp BP,M,E$都是中点，$H$是$\triangle PQM$的外接圆$\odot O$与$AC$的交点，求证：$OHEM$共圆.

12673zf · 2021-1-15 17:03

回复 1# 12673zf

我先说一下目前的一些结论,$AB\parallel EP,BH\perp AC$，这个圆实际上是九点圆，然后我就卡死了……

12673zf · 2021-1-19 17:32

回复 1# 12673zf

顶……

hbghlyj · 2021-1-19 21:57

Last edited by 2022-4-17 00:242#说已证明了BH⊥AC,∴∠EHM=∠C,∴180°-∠HEM=∠EHM+∠EMH=∠C+180°-∠A.
∵∠HMO=∠QAC=(∠A-∠C)/2,∴∠HOM=180°-2∠HMO=∠C+180°-∠A,∴∠HEM+∠HOM=180°,故H,O,M,E共圆.

12673zf · 2021-1-20 10:55

感谢！

hbghlyj · 2021-2-13 12:36

Last edited by hbghlyj 2022-4-16 17:18这是Feuerbach定理的一个证明的引理,见
jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Feuerbach.pdf第四页

hbghlyj · 2022-4-17 00:27

回复 2# 12673zf
AB∥EP是不正确的.AQ=QE但BQ未必等于QP啊

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[几何] 角平分线+中点证四点共圆

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