来自人教群的关于解三角形的增根

isee

kxs  提出：






在$\triangle ABC$中，$b=3$，$\cos B=\frac{\sqrt 7}{14}$，$A=60^\circ$，求边$c$。

isee

增根的产生最直观的原因当然是由余弦定理得到的方程产生的增根了。
其实边$c$还要满足$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，即$$9=7+c^2-c\Rightarrow c=2,-1,$$
由这两二次方程可知$c=2$。


而产生增根的本质是三角形的形状。
由题中可知$B\in (60^\circ,90^\circ)$，即题中三角形是锐角三角形。

于是$$C\in (30^\circ,60^\circ)\Rightarrow \frac 12<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<\frac{\sqrt 3}{2},$$
代入由正弦定理得到的$a=\sqrt 7$，得到$$1<16-3\sqrt {21}<c^2<16-3\sqrt 7.$$

或者干脆$c=1$时，由$\cos B=\frac{7+1-9}{\cdots}<0$与已知矛盾，舍。

kuing

题一：`b=3, \cos B=\frac{\sqrt7}{14}, A=60\du`，求 `c`；
题二：`b=3, a=\sqrt7, A=60\du`，求 `c`。

题一结果唯一，题二结果有二。

学生的解法在使用正弦定理求出 `a` 之后，并未再使用 `\cos B` 这条件，就相当于把题一完全转化为了题二，增根自然就出现了，要排除它，当然就是要回过头来拿出 `\cos B` 相关的东西来判断了。

睡神

简单点说，原题$cosB>0$可确定$B$为锐角
而$sinB=\frac{3\sqrt{21}}{14}>sinA$
只能得到$B>A$，无法确定$B$的钝锐情况，从而产生了增根

敬畏数学

典型的不懂什么是正弦定理、什么是余弦定理？大家都好好看看书！看了书就懂了。

isee

回复 5# 敬畏数学


难道是指，正弦定理其实是三个？余弦定理其实也是三个？