一个不等式的证明推广

力工

$x,y,z>0$,求证：$\sqrt{\dfrac{x}{5x+4y}}+\sqrt{\dfrac{y}{5y+4z}}+\sqrt{\dfrac{z}{5z+4x}} \leqslant 1$.
请问大神们有没有简单证法？我老师讲的证明烦。

Czhang271828

直觉是用琴生，算了后发现但需要一点分析学知识。

令$a=\ln\left(\dfrac{y}{x}\right)^{1/k}$，这里$k$为常参量，因此原式化为
\[\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{5+4e^{ka}}}\]
对函数$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{5+4e^{kt}}}$关于$t$计算二阶偏导（wolfram计算）得
\[f''(t)=\dfrac{-2k^2e^{kt}(5-2e^{kt})}{(4e^{kt}+5)^{5/2}}\]
注意到$a=\ln\left(\dfrac{y}{x}\right)^{1/k}$，故当$x$，$y$，$z$取值有上下确界时：一定存在$A_0<0$，使得对任意$k<A_0$都有$f''(a),f''(b),f''(c)<0$。

当$x$，$y$，$z$至少一者趋向无穷或零时，简单分类讨论知不等式取值不大于$1$。故不等式取等当且仅当$x=y=z$。

p.s. 本人高中毕业已一年半，没咋上手过不等式了。临时想到这个有点耍赖的方法，不知能否将这种含参琴生的方法推广...

色k

回复 1# 力工

这题的系数推广早就被玩过，见：wenku.baidu.com/view/d3fe655abe23482fb4da4c23.html

力工

回复 3# 色k
学习了，但是觉得蒋老师的那个一般性的证明也是较繁的。

kuing

$x,y,z>0$,求证：$\sqrt{\dfrac{x}{5x+4y}}+\sqrt{\dfrac{y}{5y+4z}}+\sqrt{\dfrac{z}{5z+4x}} \leqslant 1.$ ...
力工 发表于 2021-1-17 09:09

那天没仔细看，以为这个是最佳系数，今天再看才发现这个其实是 `4/5`，而不是最佳系数 `5/4`……

比 1 还小的话，那么应该就比那文章开头说的那道西部奥赛题还弱了，下面先证明这一点。

作置换 `(y/x,z/y,x/z)\to(x,y,z)`，则 `x`, `y`, `z>0`, `xyz=1`，楼主的题就等价于
\[\sqrt{\frac1{5+4x}}+\sqrt{\frac1{5+4y}}+\sqrt{\frac1{5+4z}}\leqslant1,\quad(1)\]下面证明
\[\sqrt{\frac1{5+4x}}\leqslant\frac{\sqrt2}3\sqrt{\frac1{1+x^{8/9}}},\]上式平方去分母后为 `1+8x\geqslant9x^{8/9}`，由均值显然成立，再作置换 `(x^{8/9},y^{8/9},z^{8/9})\to(x^2,y^2,z^2)`，其中 `x`, `y`, `z>0`，则同样有 `xyz=1`，那么要证式 (1) 就只需证
\[\sqrt{\frac1{1+x^2}}+\sqrt{\frac1{1+y^2}}+\sqrt{\frac1{1+z^2}}\leqslant\frac3{\sqrt2},\quad(2)\]这就说明了楼主的题比那道西部奥赛题要弱。

而要证式 (2)，可以先证明
\[\sqrt{\frac1{1+x^2}}\leqslant\frac3{2\sqrt2}\cdot\frac{1+x}{1+x+x^2},\]上式平方去分母分解后为 `(x-1)^2(1+4x+x^2)\geqslant0`，显然成立，所以只需证明
\[\sum\frac{1+x}{1+x+x^2}\leqslant2,\]即
\[\sum\frac{x^2}{1+x+x^2}\geqslant1,\]这是熟知的，证明也简单，令 `x\to a^2/(bc)` 等，上式化为
\[\sum\frac{a^4}{b^2c^2+a^2bc+a^4}\geqslant1,\]CS 后显然成立。

kuing

噢，差点忘了那道西部奥赛题的一个更简单的 CS 证法，于是可以再写得简单些。

首先仿楼上，先证
\[\sqrt{\frac x{5x+4y}}\leqslant\frac{\sqrt2}3\sqrt{\frac{x^{8/9}}{x^{8/9}+y^{8/9}}},\]上式平方去分母后为 `x+8y\geqslant9x^{1/9}y^{8/9}`，由均值显然，故只需证
\[\sqrt{\frac x{x+y}}+\sqrt{\frac y{y+z}}+\sqrt{\frac z{z+x}}\leqslant\frac3{\sqrt2},\]由 CS，有
\[\LHS\leqslant\sqrt{\sum x(y+z)\sum\frac1{(x+y)(y+z)}}=\sqrt{\frac{4(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}},\]所以只需证
\[\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leqslant\frac98,\]这是熟知的。

力工

回复 6# kuing

厉害！快快，我的膝盖！扶我起来。

力工

回复 7# 力工
我知道的过程是：先柯西，再均值 ，后作差比较，算死了。

hbghlyj

色k 发表于 2021-1-17 05:55
回复 1# 力工

这题的系数推广早就被玩过，见：wenku.baidu.com/view/d3fe655abe23482fb4da4c23.html

对不起，该文档已被删除

kuing

hbghlyj 发表于 2023-4-18 10:04
对不起，该文档已被删除

应该还是《一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广》吧：
hkame.org.hk/uploaded_files/magazine/24/248.pdf