$\prod(9-5a^2)=64a^2b^2c^2$ 证 $a+b+c\le3$

力工

回复 3# 色k
酷神大，这个怎么做呢？
若$0<a^2,b^2,c^2<1.8$,且$(9-5a^2)(9-5b^2)(9-5c^2)
    =64a^2b^2c^2$，求证：$a+b+c≤3$.

kuing

只需证：当 `a+b+c>3` 时有
\[\prod\left( \frac9{a^2}-5 \right)<64,\]由于当 `a`, `b`, `c` 减少时上式左边增大，故此又只需证：当 `a+b+c=3` 时有
\[\prod\left( \frac9{a^2}-5 \right)\leqslant64,\]由 `a,b,c<\sqrt{1.8}` 可知 `a,b,c>3-2\sqrt{1.8}`（否则无法 `a+b+c=3`），为方便书写，记 `m=3-2\sqrt{1.8}`, `n=\sqrt{1.8}`，即 `a`, `b`, `c\in(m,n)`，令
\[f(x)=\ln\left( \frac9{x^2}-5 \right),\quad x\in(m,n),\]求二阶导数易知当 `x\in\bigl(m,\sqrt{0.6}\bigr)` 时 `f''(x)>0`，当 `x\in\bigl(\sqrt{0.6},n\bigr)` 时 `f''(x)<0`，计算可知 `f(x)` 在 `x=1` 处的切线为
\[h(x)=-\frac92(x-1)+\ln4,\]因为 `1\in\bigl(\sqrt{0.6},n\bigr)`，根据《撸题集》P.5 定理 1.1.1 的（ii），要证在 `(m,n)` 上恒有 `f(x)\leqslant h(x)`，只需证 `f(m)\leqslant h(m)` 即可，而这……似乎也不怎么好证，暂且耍个赖，开挂算数值知 `f(m)\approx4.439`, `h(m)\approx4.461`，从而 `f(x)\leqslant h(x)` 在 `(m,n)` 上恒成立。

于是
\[\ln\left( \prod\left( \frac9{a^2}-5 \right) \right)\leqslant\sum\left( -\frac92(a-1)+\ln4 \right)=3\ln4=\ln64,\]这样就证完了。