直角三角形折叠成三棱锥求线段最小值

isee

题：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=6$，$AC=8$，$D$是斜边上一点，以$AD$为棱折成$60^\circ$二面角$C-AD-B$，则线段$BC$的最小值为_______.

isee

如果建系设点坐标的话，好复杂的式子；

依然用向量，不建系的话，有一种方案是过$B$作$BP\perp AD$于$D$，过$C$作$CQ\perp AD$于$Q$，设角$\angle BAD=\theta$，$\angle BAC=\alpha$，以$\vv{PB}\cdot \vv{QC}$两种计算到得关于$\angle BAD=\theta$，$\angle BAC=\alpha$的关系，但是感觉很绕.

因为是填空题，在顶点$A$处直接用三面角余弦定理，便有$$\cos \alpha=\cos\theta\cos\left(\frac {\pi}2-\theta\right)+\sin\theta\sin\left(\frac {\pi}2-\theta\right)\cos\frac {\pi}3=\frac 34\sin2\theta$$

于是$$BC^2=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac 34\sin2\theta=100-72\sin\theta\geqslant 28$$

即$BC$的最小值为$2\sqrt 7$，此时$AD$为角$A$的平分线

kuing

回复 2# isee

最后这个角平分线取得是巧合还是必然？

hejoseph

定 $\triangle ABC$ 中，$AB=a$，$AC=b$，点 $D$ 是 $BC$ 上的动点，沿着 $AD$ 折 $\triangle ABC$，使二面角 $B\text{-}AD\text{-}C$ 成角 $\theta$。
分别过点 $B$、$C$ 作直线 $AD$ 的垂线，垂足分别为 $P$、$Q$，设 $\angle BAD=(\angle A+x)/2$，$\angle CAD=(\angle A-x)/2$，则
\[
BP=a\sin\frac{\angle A+x}{2}，CQ=b\sin\frac{\angle A-x}{2}，PQ=\Biggl|a\cos\frac{\angle A+x}{2}-b\cos\frac{\angle A-x}{2}\Biggr|，
\]
那么对折后
\[
BC^2=BP^2+CQ^2-2\cdot BP\cdot CQ\cdot\cos\theta+PQ^2，
\]
将上面的值代入整理得
\[
BC^2=a^2+b^2-ab\cos A(1-\cos\theta)-ab(1+\cos\theta)\cos x，
\]
所以当 $x=0$ 时最小，即此时 $AD$ 是 $\angle A$ 的角平分线。

kuing

回复 4# hejoseph

果然是必然嘀

isee

回复 4# hejoseph


倒数第四行学习了，这样很直接，结论也漂亮。