由顶点到反射点的外接圆的幂之和引出的三元不等式

hbghlyj

P关于边长为$\sqrt3$的正△ABC三边的对称点为$P_1,P_2,P_3$,△$P_1 P_2 P_3$的外接圆为⊙Q.若点A,B,C均在⊙Q内,A,B,C到⊙Q的幂为u,v,w,求证u+v+w≥−3.
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设A,B,C到⊙Q的幂为u,v,w,容易得出
(3+p)(9+(-3+p)p-3q)(p(3+p)-3q)+243r=0,其中p=u+v+w,q=uv+vw+wu,r=uvw.
化为:
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u,v,w<0,(3+p)(9+(-3+p)p-3q)(p(3+p)-3q)=-243r,其中p=u+v+w,q=uv+vw+wu,r=uvw.求证p≤−3.
把u,v,w反号,化为:
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u,v,w>0,(3-p)(9+(3+p)p-3q)(p(-3+p)-3q)=243r,其中p=u+v+w,q=uv+vw+wu,r=uvw.求证p≥3.