一道初中多元不等式

wzyl1860

若实数 $a, b, c, d, e$ 满足：$a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e, a+b+c+d+e=0, a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=500$，求 $|a e|$ 的最小值．

kuing

一开始以为是坑题，想了一大堆，后来发现还真是初中生能解的……

由顺序条件有
\[(b-a)(b-e)\leqslant0\iff b^2-b(a+e)+ae\leqslant0,\]对 `c`, `d` 同理，三式相加得
\[b^2+c^2+d^2-(b+c+d)(a+e)+3ae\leqslant0,\]即
\[500-a^2-e^2+(a+e)^2+3ae\leqslant0,\]刚好就没了平方项，剩下就是 `ae\leqslant-100`，所以 `\abs{ae}\geqslant100`。

取等条件就是 `b`, `c`, `d\in\{a,e\}`，所以不止一种取等，如 `a=-20` 且 `b=c=d=e=5`，或者 `a=b=-5\sqrt6` 且 `c=d=e=10\sqrt6/3`，以及它们的镜像。

isee

回复 2# kuing


初中题也是竞赛类，肯定。

欣赏！