证明总有三个实根

hbghlyj

$a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}$,证明关于t的方程$\frac{x^2}{a^2+t}+\frac{y^2}{b^2+t}+\frac{z^2}{c^2+t}=1$总有三个实根.


来源:confocal ellipsoidal coordinates(共焦椭球坐标)

realnumber

不妨设$a^2\ge b^2 \ge c^2 \ge 0$-----这里等号应该去掉吧？
方程化为$f(t)=(a^2+t)(b^2+t)(c^2+t)-x^2(b^2+t)(c^2+t)-y^2(a^2+t)(c^2+t)-z^2(a^2+t)(b^2+t)=0$
$f(-a)=-x^2(b^2-a^2)(c^2-a^2)\le 0,f(-b^2)\ge 0,f(-c^2)\le0$,---这里也加上x,y,z不等于0？
又f(+无穷)>0,f(-无穷)<0,由零点存在定理以及代数基本定理可以确定有且只有三个实数根.

hbghlyj

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回复 2# realnumber
一个笔误:应该是$f(-a^2)$不是$f(-a)$吧