三元分式不等式

hbghlyj

(1)a,b,c>0,求证$1<4\frac {abc}{ \left( c+b \right) \left( a+c \right)
\left( b+a \right) }+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{b+a}}+{\frac {c}{c+
b}}\le2$.
通分,等价于$a^2 c+a b^2+5 a b c+b c^2>0$和$a^2b+b^2c+c^2a\ge 3 abc$,显然成立.当a=1,b=0,$c\to\infty$时取到最小值1,当a=b=c时取到最大值2.
条件a,b,c>0是必要的.例如a=-5,b=3,c=-11时原式=$-\frac{153}{64}$<1,$a= \frac{1}{16},b= -\frac{31}{256},c= -1,d= 0$时原式=$\frac{155006}{64575}\approx 2.4$>2.
(2)a,b,c>0,求证$1\le\frac{a}{a+b}+\frac{d}{a+d}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}\le2$.
令a=1,将$\frac{b}{b+c}+\frac{1}{b+1}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+1}-3$通分后分子为$-b^2 c-b^2 d^2-2 b^2 d-b c^2 d-2 b c^2-2 b c d^2-2 b c d-b d-c^2-c d^2-2 c d<0$.故最大值为3.
条件a,b,c>0是必要的.例如$a=2,b=-83,c=-1,d=-1$时原式=$\frac{1051}{2268}$<1,$a= -2,b=11,c=5,d= -3$时原式=$\frac{2567}{720}$>2.
这样证明严格吗?我认为,即使3不能取到,应该表成一个极限...

kuing

（2）一方面有
\begin{align*}
&\frac a{a+b}+\frac d{a+d}+\frac b{b+c}+\frac c{c+d}\\
>{}&\frac a{a+b+c+d}+\frac d{a+d+b+c}+\frac b{b+c+a+d}+\frac c{c+d+a+b}\\
={}&1,
\end{align*}另一方面有
\begin{align*}
&\frac a{a+b}+\frac d{a+d}+\frac b{b+c}+\frac c{c+d}\\
<{}&\frac{a+c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+b+c}{a+d+b+c}+\frac{b+a+d}{b+c+a+d}+\frac{c+a+b}{c+d+a+b}\\
={}&3,
\end{align*}所以
\[1<\frac a{a+b}+\frac d{a+d}+\frac b{b+c}+\frac c{c+d}<3,\]当 `a=1`, `c=b^2`, `d=b^3` 时，原式 `=3/(1+b)+b^3/(1+b^3)`，此时令 `b\to0` 得原式 `\to3`，令 `b\to\infty` 得原式 `\to1`，所以 `1` 和 `3` 分别就是下确界和上确界，加上连续性，原式的范围就是 `(1,3)`。