两个相似的不等式

lemondian

1.设非零实数$x,y$，有$x^2-x>y^2$与$y^2-y>x^2$。试问：乘积$xy$的符号为何？
2.设非零实数$x,y$，有$x^4-y^4>x$与$y^4-x^4>y$。试问：乘积$xy$能否为负数？

kuing

你想弄成这样是吧？：
设 `n` 为正偶数，若实数 `x`, `y` 满足 `x^n-x>y^n` 且 `y^n-y>x^n`，则 `xy` 不可能为负数。

证明：假设 `xy<0`，由对称性不妨设 `x>0`，则由 `x^n-x>y^n>0` 得 `x>1`。

令 `f(x)=x^n-x`（`x>1`），显然单增，值域为 `\Bbb R^+`，故存在反函数，则 `f(x)>y^n\iff x>f^{-1}(y^n)`，那么 `y^n-y>x^n>x+y^n>f^{-1}(y^n)+y^n`，即 `-y>f^{-1}(y^n)`，于是 `f(-y)>f(f^{-1}(y^n))`，即 `(-y)^n+y>y_n`，得 `y>0`，矛盾！所以命题成立。

lemondian

这里有两个证法，只是对2#的一般情况，好象不能用了吧？

lemondian

回复 2# kuing
谢谢@kuing
不过证明的最后一行看不懂哩

kuing

回复 4# lemondian

改了一下，换个说法，你再看看

lemondian

回复 5# kuing
这回好懂了！
最后一个地方写错了:写成下标了，应该是$(-y)^n+y>y^n$