转发一个椭圆最值问题

joatbmon

qq群上看到的,出题人没有给出答案,我也不会,$\alpha,\beta$是椭圆焦点三角形的两个底角,求$\dfrac{\sin \alpha+\sin\beta}{1+\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta}$的最大值

kuing

就怕是钓鱼题……

设椭圆离心率为 `e`，焦点三角形的顶角为 `\theta`，易知 `\theta\in(0,2\arcsin e]`。

记原式为 `f`，经过一堆三角化简，最终可得
\[f=\frac{4e^3\sin\theta}{9e^4-2e^2+1-2(3e^4-4e^2+1)\cos\theta+(e^4-6e^2+1)\cos^2\theta},\]画图看了下，单调性情况似乎不太简单，有点想扔了……

joatbmon

来自杭州学军特级教师的原创题,发在qq群,说是征求妙解,我万能公式做到后面那个导数太复杂做不下去...群里也没有人理会,软件画的图,离心率0.6时,函数右边三个极值点,然后自变量限制取了最小那个,感觉是不是有什么奇奇怪怪的不等式刚刚凑好的情况,能力之外了

力工

回复 3# joatbmon
那也就是说边@红平老师也没办法了

joatbmon

qq群里看到是闻杰老师发的征求妙解,不知道这题背后有什么奇妙的解法

kuing

回复 3# joatbmon

？难道说，题意是椭圆也可以任意变化的？
我 2# 是按 e 是给定的常数来处理的，画图看过最值需要分 e 来讨论，结果应该很复杂。
而如果椭圆可以变，那椭圆就是多余的，变成任意三角形内的最值。
那，题意到底是啥……

kuing

回复 6# kuing

如果真是这样，那连三角形也多余，直接记 `t=\sin\alpha+\sin\beta`，则 `\sin\alpha\sin\beta\leqslant t^2/4\leqslant1`，那么
\begin{align*}
f&=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{(\sin\alpha+\sin\beta)^2+(1-\sin\alpha\sin\beta)^2}\\
&\leqslant\frac t{t^2+\bigl(1-\frac14t^2\bigr)^2}\\
&=\frac t{\bigl(\frac13+\frac13+\frac13+\frac14t^2\bigr)^2}\\
&\leqslant\frac t{\left( 4\cdot\sqrt[4]{\frac1{3^3\cdot4}t^2} \right)^2}\\
&=\frac{3\sqrt3}8,
\end{align*}当 `\sin\alpha=\sin\beta=1/\sqrt3` 时取等。

joatbmon

回复 7# kuing

也许是这个,发题人再也不回复了,莫测高深的样子