$f(x)$ 为常数

APPSYZY

$f(x)$连续，且满足$f(x)=f(1-\cos x)$，求证：不存在$x_1\ne x_2$，使得$f(x_1)\ne f(x_2)$.

kuing

设数列 `\an` 满足 `a_{n+1}=1-\cos a_n`，下面证明无论首项 `a_1` 取任何实数，`\an` 都将收敛到 `0`。

显然 `a_2\in[0,2]`，则 `a_3\in[0,1-\cos2]`，数值上 `1-\cos2<3/2`，则不难由归纳法得 `n\geqslant3` 时 `a_n\in[0,3/2)`，所以当 `n\geqslant3` 时，由 `\abs{\sin x}\leqslant\abs x` 得
\[a_{n+1}=2\sin^2\frac{a_n}2\leqslant\frac12a_n^2\leqslant\frac34a_n,\]所以收敛到 `0`。

回到 `f` 上，就有 `f(a_1)=f(a_n)` 对任意 `n` 恒成立，令 `n\to\infty`，由上述结论及 `f` 的连续性，即得 `f(a_1)=f(0)`，这里 `a_1` 任意，所以 `f(x)` 就是常数。