一点到三角形三边的距离公式

hbghlyj

hejoseph

还是用重心坐标的结论，设点 $P$ 关于 $\triangle ABC$ 的重心坐标是 $(\alpha,\beta,\gamma)$，$\triangle ABC$ 的面积是 $S$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，$t=\alpha\beta AB^2+\alpha\gamma AC^2+\beta\gamma BC^2$，由重心坐标的距离公式得方程组
\[
\left\{
\begin{aligned}
&PA^2=\beta c^2+\gamma b^2-t\\
&PB^2=\alpha c^2+\gamma a^2-t\\
&PC^2=\alpha b^2+\beta a^2-t\\
&\alpha+\beta+\gamma=1\\
\end{aligned}
\right.
\]
解这个方程组，并化简，得
\[
\left\{
\begin{aligned}
\alpha&=\frac{a(-a\cdot PA^2+b\cdot PB^2\cdot\cos C+c\cdot PC^2\cdot\cos B+abc\cos A)}{8S^2}\\
\beta&=\frac{b(a\cdot PA^2\cdot\cos C-b\cdot PB^2+c\cdot PC^2\cdot\cos A+abc\cos B)}{8S^2}\\
\gamma&=\frac{c(a\cdot PA^2\cdot\cos B+b\cdot PB^2\cdot\cos A-c\cdot PC^2+abc\cos C)}{8S^2}\\
\end{aligned}
\right.
\]
用重心坐标的意义，就可以得到距离了，这个距离要理解为有向距离。
至于 $t$ 有什么意义？可以用那个方程组解得的 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，代入 $t=\alpha\beta AB^2+\alpha\gamma AC^2+\beta\gamma BC^2$ 的右边，方程组解得的 $t$ 值代入左边，得到一个等式，这个等式就是平面四点 $A$、$B$、$C$、$D$ 构成的六个线段长度的关系。