两道三元不等式

lemondian

1.对于正实数$a,b,c$，求证：$\dfrac{\sqrt{a^2+3bc}}{a}+\dfrac{\sqrt{b^2+3ca}}{b}+\dfrac{\sqrt{c^2+3ab}}{c}\geqslant 6$.
2.对于正实数$a,b,c$，满足$a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2$,求证：$\dfrac{a^2+b^2}{b}+\dfrac{b^2+c^2}{c}+\dfrac{c^2+a^2}{a}\geqslant 2(ab+bc+ca)$.

kuing

1、等价于 x,y,z>0, xyz=1 证 `\sqrt{1+3x}+\sqrt{1+3y}+\sqrt{1+3z}\geqslant6`。
求导易证 `f(x)=\sqrt{1+3e^x}` 下凸，故由琴生……略。

hbghlyj

回复 1# lemondian
2的类似题aops

kuing

回复 3# hbghlyj

并不类似，这根本是两类题，楼主这道题恐怕只有猜中命题者的心思才能做出来的，见下：

由均值有
\[\frac {a^2}b+b^5+a\geqslant 2ab^2+a=ab^2+a(b^2+1)\geqslant ab^2+2ab,\]所以
\[\sum \frac {a^2}b+\sum b^5+\sum a\geqslant \sum ab^2+2\sum ab,\]根据条件，约掉 `\sum b^5` 和 `\sum ab^2`，剩下的就是原不等式。

这题很可能就是这样出的了，先随便整些式子来均值，求和后强行加个条件消掉某些部分，再把式子整理一下完事。

这种命题手法真那啥，如果你按常规方法，比如齐次化啊柯西之类的，可能会掉坑……

kuing

回复 4# kuing

哦，不曾想到，还真有属于常规套路的简单证法，楼上关于命题部分的判断收回……

由于 `(a^2+b^2)/b\geqslant 2a`，故只需证更强式 `a+b+c\geqslant ab+bc+ca`，然后用反证法：
假设 `a+b+c<ab+bc+ca`，下面证明此时将有 `a^5+b^5+c^5>ab^2+bc^2+ca^2`。

由假设，有 `(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)>3(a+b+c)`，所以 `a+b+c>3`，那么只需证明
\[a^5+b^5+c^5\geqslant \frac 1{27}(a+b+c)^2(ab^2+bc^2+ca^2),\]而这是显然的。

由此也可以看出原不等式非常弱，所以也有可能我的命题判断其实没错，只是由于不等式太弱导致其他方法也很容易弄出来。

其妙

关于第一题，“不等式欣赏研究群”qq群（群号码为305078297）的陕西网友解答如下（请自行核对有无错误）：

其妙

感觉第一题他放缩反了，下面是群内的他对第二道的解答

kuing

回复 7# 其妙

这和 4# 是一样的，只不过他分开两步写，而我是合在一起。

第一题也没反……可见两题都弱……

其妙

回复 8# kuing
这个不等式的确有点弱：
“不等式欣赏研究群”qq群（群号码为305078297）的河南网友解答如下（请自行核对有无错误），

色k

回复 9# 其妙

不是有点，简直弱爆。
我2#还琴生，简直大炮打蚊子