一个向量问题求证

hjfmhh

hjfmhh

此题我的思想是取BC,EF的中点G,H,
2GH向量=BE向量+CF向量，于是
AD向量+2GH向量=0向量，但不知道怎么说明
M一定是重心，虽然根据比值猜猜就是重心

kuing

回复 1# hjfmhh

那猜测显然不成立，就比如 OA = (1, 0), OB = (0, 1), OC = (1, 1), OH = (1, -1)，设 OH = xOA+yOB+zOC = (x+z, y+z)，则只需满足 x+z = 1, y+z = -1，显然有无数组解。

hjfmhh

回复 3# kuing
谢谢，原题成立的原因是什么？

kuing

由条件知存在非零实数 a, b 使 OC = aOA+bOB。
OH = OA+xOB+xOC  (1)
OH = yOA+OB+yOC  (2)
OH = zOA+zOB+OC  (3)
(1)-(3) 及 (2)-(3) 得
0 = (1-z)OA+(x-z)OB+(x-1)OC = [1-z+a(x-1)]OA+[x-z+b(x-1)]OB
0 = (y-z)OA+(1-z)OB+(y-1)OC = [y-z+a(y-1)]OA+[1-z+b(y-1)]OB
而 OA、OB 不共线，所以
1-z+a(x-1) = x-z+b(x-1) = y-z+a(y-1) = 1-z+b(y-1) = 0
前两个相减分解得
(x-1)(a-b-1)=0
后两个相减分解得
(y-1)(a-b+1)=0
因为 a-b-1 和 a-b+1 不可能同时为零，所以 x, y 至少一个是 1，代回去即得 x=y=z=1。

kuing

回复 2# hjfmhh

设 AG 与 EF 交于 N，你已经证明了 AD+2GH=0，就得到 AN=2NG，所以 N 是重心，也就是说 EF 恒过重心，而 EF 又得恒过 M，所以 M 就只能是 N 啊