垂心 求证切线

hbghlyj

BE,CF为`\triangle ABC`的高,BE平分CF于H,BE中点为M,过A作圆BCEF的割线F'B',E'C',`\angle BAB'=\angle CAC'`(有向角),B'E'中点为M',求
证`\angle BOM'\ge \angle BOM`.

作出M'的轨迹`\mathcal{L}`(图中红色曲线),等价于证OM是`\mathcal{L}`的切线.

其妙

这么大的图，电脑都无法容纳完，看不清呀

其妙

回复 3# hbghlyj
恰巧滚轮坏了，准备换个鼠标，但是还能坚持用一段时间，鼠标怎么会是滚轮先坏？其它的功能都能用。

色k

回复 4# 其妙

滚轮可以试试自己修，里面那个小零件可以拆开，底座擦一擦，三个触点刮一刮，或许就好了。
我现在用的鼠标就是这样，用了好多年，换别的手感很难习惯，所以一直就这样修过来，至于左右键就不好修，我就买了十个微动开关，可以一直换

hbghlyj

我最初的想法是
BB'趋于B处的切线,EE'趋于E处的切线,它们关于OM对称.M'是B'E'的中点,M是BE的中点,所以就能说明........MM'趋于CM?
后来发现,这样想是不严谨的.比如

B'在BO上运动,E'在OE上运动,BB'和EE'关于OM对称,BB':EE'为定值,M为BE中点,M'为B'E'中点,则MM'是一条定直线,不一定是OM.

hbghlyj

回复 1# hbghlyj
设B'E'与B,E处的切线交于$B_0,E_0$,$B_0E_0$中点为$M_0$,只需证$M_0M$的极限是OM.

hbghlyj

又弄出来一些小东西:
$\triangle ABC$的高BE,CF交于H,H为CF中点,M为BE中点,过E作圆BCEF的切线与AB交于Q,AM与QE交于P,求证AQ与圆APE相切

证:设O为BC中点,EO交AM于D.∵ABEM~ACFH,∴∠BAD=∠CAH=∠EBC=∠BEO,∴DEO共线.
∵∠DEP=∠AEB,∴∠AEP=∠BED,∴△AEP~△BED,∴∠DPE=π-∠BDE=∠BAC.

hbghlyj

在E处的圆O切线上取点G使∠GAH=∠EHF,K是B处的圆O切线和AM的交点,求证:GK中点在BE上.
证:G,K联系不大,所以去证G,K到BE距离相等.这两个距离分别是GEcos∠GEA,BKcos∠(BK,AC).易证∠GEA=∠(BK,AC).只需证GE=BK.作K关于MO的对称点K'则GEK'共线.设MK'与AE交于X,则∠EMX=∠BMK=∠AME,又ME⊥AX,∴AE=XE.又AG∥XK',∴GE=K'E=BK.