有没有三维的赫德尔不等式和柯西不等式？

TSC999

kuing

最后这个是成立但没什么用，因为弱，等号也取不了。
首先 `\sum a_i^2\sum b_i^2\sum c_i^2\geqslant \left( {\sum \sqrt[3]{a_i^2b_i^2c_i^2}} \right)^3`，
只需证 `\left( {\sum \sqrt[3]{a_i^2b_i^2c_i^2}} \right)^3\geqslant \left( {\sum a_ib_ic_i} \right)^2`，
只需证 `\left( {\sum x_i^{2/3}} \right)^{3/2}\geqslant \sum x_i`，其中 `x_i=|a_ib_ic_i|`，
而函数 `f(k)=\left( {\sum x_i^k} \right)^{1/k}` 在 `(0,+\infty)` 内是减函数，所以 `f(2/3)\geqslant f(1)`。
要取等号除非 n=1 或一堆变量为零什么的，反正正常情况都取不了。

关于 holder 以及刚才说的那个减函数，其实你可以看看这篇：
forum.php?mod=viewthread&tid=4096

TSC999

回复 2# kuing

谢谢 k 先生指导！ 外事不决问周渝，内事不决问鲁肃，不等式问题找 k 先生。