一道三角形不等式

hbghlyj

在三角形中,求证$-\frac{-a^2 b-a^2 c+a^3-2 b^2 c+2 b^3-2 b c^2+2 c^3}{a \left(a^2-a b-a c-2 b^2+4 b c-2 c^2\right)}\in[-1,1]$

kuing

+1 分解 -1 分解就是了，有啥特别的吗？背景？

hbghlyj

回复 2# kuing
您好. 我遇到一个微小的问题. 是这样的:
D是BC中点,I是内心,$\angle CDI=\alpha\in(0,\pi)$,证明:$\cos 2\alpha=-\frac{-a^2 b-a^2 c+a^3-2 b^2 c+2 b^3-2 b c^2+2 c^3}{a \left(a^2-a b-a c-2 b^2+4 b c-2 c^2\right)}$.
我把$\cos^2 2\alpha$算出来了. 但是没法区分正负. 这个怎么办呢

kuing

回复 3# hbghlyj

为啥算 `\cos^2 2\alpha`，算 `\cos^2\alpha` 就没这个问题了，而且也不难吧……中点到切点的距离OK，和半径算 ID^2……

hbghlyj

回复 4# kuing
好的

hbghlyj

另外,$\sin2\alpha=\frac{8 (c - b) \S{ABC} }{(a (b + c - a) + 2(b - c)^2) a}$.因为c>b时$\alpha>\frac\pi2$,c<b时$\alpha<\frac\pi2$

hbghlyj

$\triangle ABC$的内切圆I与BC切于D.在DB上取E使DE=AB.作A,B,C关于I的对称点A',B',C'.在B'C'上取G使GB=GC'.过A'作BC平行线交GB于F,求证$EF\parallel CG$.