求证$\sqrt{2}n\cdot\{\sqrt{2}n\}>\frac{1}{2}$

abababa

如题，$n$是正整数，$\{x\}$表示$x$的小数部分，求证$\sqrt{2}n\cdot\{\sqrt{2}n\}>\frac{1}{2}$。

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这个我做出来了。设$\sqrt{2}n=k+c$，其中$k=[\sqrt{2}n]$。然后两边平方，就是$2n^2=k^2+2kc+c^2$，也就是$2kc+c^2=2n^2-k^2$，左边是正的，所以右边也是正的，但是右边又是整数，所以右边大于等于$1$，所以左边$2kc+c^2\ge 1$，然后左边再加$c^2$就把等号去掉了，就是$2kc+2c^2>1$，也就是$(k+c)c>\frac{1}{2}$，也就是要证明的那个结论。