关于极坐标，求离心率

realnumber

n年没用，遗忘得差不多了，百度也没搜到多少
我这样解下面这个问题对吗?
若过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$焦点且与渐近线垂直的弦的长等于2b,则此双曲线的离心率e=_______.
$\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta},p=\frac{b^2}{c}$
\[\frac{ep}{1-\frac{b}{a}}-\frac{ep}{1+\frac{b}{a}}=2b，\frac{ep}{1-\frac{b}{a}}+\frac{ep}{1+\frac{b}{a}}=2b\]
哪一种啊？

色k

\ruo  \cita  

realnumber

\ruo  \cita
色k 发表于 2021-3-16 16:09

已改

kuing

渐近线方向就是分母为零的 `\theta`，也就是 `\cos\theta=1/e`，那么与之垂直的方向就是 `\sin\theta=1/e`，所以
\[\rho=\frac{ep}{1\pm e\sqrt{1-1/e^2}}=\frac{ep}{1\pm\sqrt{e^2-1}}=\frac{ep}{1\pm b/a},\]当 `a>b` 时两 `\rho` 都为正，弦的两端在同一支上，所以是 `\rho_1+\rho_2=2b`；
而 `a<b` 时一正一负，是异支，此时是 `-\rho_1-\rho_2=2b`。

kuing

续：`ep=b^2/a`，代入化简，第一种情况得 `a^2-ab-b^2=0`，第二种是 `-a^2-ab+b^2=0`，分别解得 `a=\frac{\sqrt5+1}2b` 及 `a=\frac{\sqrt5-1}2b`，竟然都是黄金比……

realnumber

回复 4# kuing


    嗯，这样算出来是$e=\frac{\sqrt{10±2\sqrt{5}}}{2}$

isee

不是楼主需要的回复：

双曲线(椭圆)的极坐标方程其实分以左焦点为极点，右焦点有极点两种方程(这个其次)，焦半径长还分点在左支，还是右支上(这个会弄晕许多人)，用起来不方便——坛主除外。

如果只关心过焦点弦长的话，倒是简单(椭圆亦是这个且不需要绝对值)$$\abs{AB}=\frac {2b^2/a}{\abs{1-\mathrm e^2\cos^2\theta}}.$$

这里$\theta$可以是直线的倾斜角——常为了和焦长径公式统一，用焦半径与$x$轴正方向的所成的角。

kuing

回复 7# isee

其实不用把我除外，我写 4# 时也是经过一些思索的，并没有你想象中那么熟练

realnumber

说到底，原因因为只记得统一方程形式，推导过程怎么？也不晓得又没试过

realnumber

回复 9# realnumber
好像记起来一些，用第二定义

isee

回复 10# realnumber

是的，或者直接利用极坐标的规则，找出极径与极角的函数关系（就变成解三角形了，正是如此，通常直接构造焦三角形，直接算）