根轴的极限

hbghlyj

O在线段AB,CD和直线L上,E在L上运动,当E趋于O时,求作
(1)△ABE,CDE的内切圆的根轴的极限
(2)△ABE,CDE的E所对的旁切圆的根轴的极限.

在(1)中两个圆缩成一点O,在(2)中两个圆变成直线AB和CD,这两个根轴极限都是通过O的.
怎么作图呢

hbghlyj

(2)已经解决了
引理1.        B在过O的直线上运动,B在AO上的投影为C.当B→O时,$\frac{AB-AC}{BC^2}\rightarrow\frac{1}{2AO}.$
证:$AB^2-AC^2=BC^2$⇒$\frac{AB-AC}{BC^2}=\frac{1}{AB+AC}\rightarrow\frac{1}{2AO}.$
推论:O为AC上一点,B在过O的直线上运动.当B→O时,$\frac{AB+BC-AC}{BO^2}\rightarrow\frac{{\left(AO^{-1}+CO^{-1}\right)\sin}^2{\angle A O B}}{2}.$

引理2.        直线AB,CD交于O.E在通过O的直线上运动.ABE和CDE的E-旁切圆半径为$R_1,R_2.$当E→O时,\[\frac{R_1}{R_2}\rightarrow\frac{\sin{\angle C O E}}{\sin{\angle A O E}}\cdot\frac{AB}{CD}\cdot\frac{OC^{-1}+OD^{-1}}{OA^{-1}+OB^{-1}}\]证:$R_1=\frac{OE\ AB\sin{\angle A O E}}{AE+BE-AB}.$由引理1的推论,当E→O时,$\frac{AE+BE-AB}{CE+DE-CD}\rightarrow\frac{OA^{-1}+OB^{-1}}{OC^{-1}+OD^{-1}}\cdot\frac{\sin^2{\angle A O E}}{\sin^2{\angle C O E}}.$代入即可.

回到原题,
由引理2,旁切圆半径之比为$k=\frac{\sin{\angle C O E}}{\sin{\angle A O E}}\cdot\frac{AB}{CD}\cdot\frac{OC^{-1}+OD^{-1}}{OA^{-1}+OB^{-1}}$
M为O关于AB中点的对称点,N为O关于CD中点的对称点.则ABE的旁切圆在AB上的切点的极限为M,CDE的旁切圆在CD上的切点的极限为N.过M作AB垂线,过N作CD垂线交于P,则P到两个旁心的比的极限为k.
因此,在PM,PN上截取Q,R使$\frac{PQ}{PR}=k$,过O作QR的垂线即为旁切圆根轴的极限.