复数为什么不能比较大小

hjfmhh

问题1：为什么要引入复数？问题2：复数为什么不能比较大小？
对第二问查阅了一些资料说复数集是有序集（自反性、传递性、反对称性、可比性），但不是有序域（加法和乘正元的保序性）。都最终以虚数单位i与0举例。对譬如1+3i与2+4i为什么不能比较大小似乎没说清楚，大家有没有好的资料，求指教共享。

isee

这个问题提得很好，可以去学校图书馆借相应的书阅读。
如复数的故事，虚数的故事，虚数i的奥秘：从数的诞生到复数等等。

简言之，虚数的因解三次方程而引入，复数与复平面内的点一一对应，复数乘除法的几何意义发现而被广泛接纳。

从实数到虚数，除了不可以比较大小没有继承，其实均得以完成继承。
虚数不可以比较大小，简言之，$i$ 无法与$0$比较，不妨用反证法推理推理。

isee

回复 1# hjfmhh


    如果谈域之类，就不懂了，域，大学的东西了，如果有兴趣，上图书馆吧

realnumber

模仿一下，假定实数的比较大小搬过来
假定$1+3i\le 2+4i$,移项则$-1\le i$，平方得$1 \le -1$,不对了
假定$1+3i\ge 2+4i$,移项则$-i\ge 1$,平方得$-1\ge  1$,也不对
不是的，实数里1>-2也不能平方，
修改一下，假定$1+3i\le 2+4i$,移项则$1\le  2+i$，这下好像可以平方了，
平方得$1\le 3+4i$,继续平方$1\le -7+24i$,移项$8\le 24i$即$1\le 3i$
再次平方$1\le -9$哈哈，不对了

我猜吧，即使要比较大小，也是与实数有不一样的地方，比如规定先比较横坐标，再比较纵坐标；比如规定比较长度，再比较[0,2$\pi$)内的辐角.

isee

回复 4# realnumber

如果满足有序，则满足传递性，就归结为 i 与 0 的大小了，包括两边平方，亦是 虚数单位 i 的符号问题