若$x^2\equiv1\pmod{8}$则$y^2\equiv1\pmod{2^k}$

abababa

如题，若$x^2\equiv1\pmod{8}$，求证存在$y$使得$y^2\equiv1\pmod{2^k}$，其中$k>3$。
这个是不是有相关的定理，二次剩余那些方面的？是不是也有一般情况？具体怎么证明呢？

tommywong

如题，若$x^2\equiv1\pmod{8}$，求证存在$y$使得$y^2\equiv1\pmod{2^k}$，其中$k>3$。

你都冇講到x同y有咩關係，唔知你想做乜

$x^2\equiv 1\pmod{8}$只能推出x是奇數

$y=1$已經使得$y^2\equiv 1\pmod{2^k}$了

abababa

回复 2# tommywong

我有点明白了，我考虑的是$x^2\equiv-7\pmod{8}$，然后想证明存在$y$使得$y^2\equiv-7\pmod{2^k}$。最后觉得负数不好就换成1了，没想到1直接就能使y存在。具体的表述是不是应该这样：如果$a$是一个模$8$的二次剩余，则对任意的$k$，$a$必定也是一个模$2^k$的二次剩余。在我的例子里就是$a=-7$。

tommywong

回复  tommywong

我有点明白了，我考虑的是$x^2\equiv-7\pmod{8}$，然后想证明存在$y$使得$y^2\equiv-7\p ...
abababa 发表于 2021-3-18 09:24

$x^2≡1(mod8)$哩個條件冇乜用，咪再諗佢喇
你應該諗嘅只有＂-7是不是模$2^k$的二次剩餘"
數論上面要判斷有冇二次剩餘通常會叫你用Legendre symbol
等於1就代表存在，-1就代表唔存在，但係唔會知道存在乜嘢
而且要考慮模$2^k$嘅話Legendre symbol都唔夠用
要推廣到Kronecker symbol先可以用

$\left(\frac{-7}{2^k}\right)=\left(\frac{-7}{1}\right)\left(\frac{-7}{2}\right)^k=1$

所以係存在嘅

abababa

回复 4# tommywong

这个二次剩余，原来需要这么多内容啊，对我来说实在是太复杂了。

isee

没想到 tommywong 通晓数论，勒让德符号 很多人压根没听说过，哈哈哈哈哈