两零点证$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>4/e$

isee

（源自2021月3月高三广州一模）

已知函数$f(x)=\ln x-ax+1(a\in \mathbf{R})$．若$f(x)$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_2>2x_1$，证明：$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>\frac{4}{\text{e}}$．

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尝试转化为$$x_1^2+x_2>2x_1x_2>\frac {16}{\mathrm e^2}\Leftarrow x_1x_2>\frac 8{\mathrm e^2}\iff 2+\ln x_1x_2>3\ln 2.$$

由$ax_1=\ln x_1+1,ax_2=\ln x_2+1$可得$$\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\frac{x_1+x_2}{\ln x_1x_2+2},$$

所以$$2+\ln x_1x_2=\frac {(x_1+x_2)(\ln x_1-\ln x_2)}{x_1-x_2},$$

这就转化为常见的式子了，令$$F(x)=\frac{(t+1)\ln t}{t-1},t=\frac {x_1}{x_2},$$

观察到$F(1/2)=3\ln 2$，想法顺利实施~

facebooker

大部分人应该都是用基本不等式+比值代换吧

isee

回复 3# facebooker


正是没有反常规，所以发上来了，以示“更多面”